Question

Uma indústria produz mensalmente x lotes de um produto. O valor mensal resultante da venda deste produto é V(x) = 3x² – 12x e o custo mensal da produção é dado por C(x) = 5x² – 40 x – 40. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor resultante das vendas e o custo da produção, qual o obtido com a venda de 5 lotes? E de 6 lotes? E de 7 lotes? Qual o número de lotes mensais que essa indústria deve vender para ter o lucro máximo?​

Answer 1

Olá, tudo bem? Inicialmente, vamos estabelecer, de acordo com o enunciado, a fórmula para o lucro que chamaremos de L(x):

$L(x)=V(x)-C(x)\to\\\\L(x)=3x^2-12x-(5x^2-40x-40)\to\\\\L(x)=3x^2-12x-5x^2+40x+40\to\\\\\boxed{L(x)=-2x^2+28x+40}\checkmark$

Vamos às resoluções:

$\Rrightarrow\,\,\text{a) Para}\,\,x=5:\\\\L(5)=-2\cdot 5^2+28\cdot 5+40\to\\\\L(5)=-50+140+40\to\\\\\boxed{L(5)=130}\checkmark$

$\Rrightarrow\,\,\text{b) Para}\,\,x=6:\\\\L(6)=-2\cdot 6^2+28\cdot 6+40\to\\\\L(6)=-72+168+40\to\\\\\boxed{L(6)=136}\checkmark$

$\Rrightarrow\,\,\text{c) Para}\,\, x=7 :\\\\L(7)=-2\cdot 7^2+28\cdot 7+40\to\\\\L(7)=-98+196+40\to\\\\\boxed{L(7)=138}\checkmark$

$\Rrightarrow$ d) "x", para lucro máximo:

Observe que a equação do lucro é uma função quadrática, cujo gráfico tem a concavidade votada para baixo e, portanto, possui um valor de máximo na coordenada "x" do seu vértice, isto é, $x_{v}$ que pode ser obtido pela razão:

$x_{v}=-\dfrac{b}{2a}\to\\\\\\x_{v}=-\dfrac{28}{2\cdot(-2)}\to\\\\\\\boxed{x=7\,\,\text{lotes mensais}}\checkmark$

É isso!! :)

Answer 2

A quantidade de lotes mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é 7 lotes.

• Considere que o lucro obtido pela empresa seja a diferença entre o faturamento mensal resultante da venda destes lotes e o custo mensal de produção. Do enunciado tem-se:

Faturamento mensal resultante da venda destes lotes: v(x) = 3x² − 12x

Custo mensal de produção: c(x) = 5x² − 40x − 40

Quantidade de lotes do produto produzidos mensalmente: x

• Subtraia c(x) de v(x) para obter a função ℓ(x) que representa o lucro.

ℓ(x) = v(x) − c(x)

ℓ(x) = 3x² − 12x − (5x² − 40x − 40)

ℓ(x) = 3x² − 12x − 5x² + 40x + 40

ℓ(x) = −2x² + 28x + 40

• Observe que a função que representa o lucro é uma função do segundo grau cujo coeficiente de x² é negativo e portanto a função é representada por uma parábola de concavidade para baixo.

• O valor máximo de uma parábola de concavidade para baixo é obtido em seu vértice, portanto para determinar o valor de x para um lucro máximo determine a abscissa do vértice (xᵥ) para obter a quantidade (x) de lotes do produto produzidos mensalmente para um lucro máximo.

• Os coeficientes da função ℓ(x) são:

a = −2

b = 28

c = 40

• A abscissa do vértice é obtida por:

$\large \sf x_v = \dfrac{-b}{2a}$  ⟹ Substitua os valores dos coeficientes.

$\large \sf x_v = \dfrac{-28}{2 \cdot (-2)} = \dfrac{-28}{-4}$

$\large \sf x_v = 7$

A quantidade de lotes mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é 7 lotes.

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