Question

 Resolva ,em IR,a equação: [tex]x^2+x^2/2+x^2/4+.....=1/3

Answer 1

$x^{2} + (x^{2}/2) + (x^{2}/4) + ... = 1 / 3$

$a_{1} = x^{2}$
$a_{2} = x^{2}/2$
$a_{3}=x^{2}/4$

$q = a_{2}/a_{1}$
$q=a_{3}/a_{2}$
$a_{2}/a_{1}=a_{3}/a_{2}$
$(x^{2}/2)/x^{2} = (x^{2}/4)/(x^{2}/2)$
$(x^{2}/2)*(1/x^{2})=(x^{2}/4)*(2/x^{2})$
$1/2=2/4$
$1/2=1/2$

Como pode ver, a razão é constante, logo essa progressão é uma progressão geométrica de razão 1 / 2

0 < q < 1 => Soma infinita

$Sn = a_{1} / (1 - q)$
$a_{1}/(1 - q) = 1 / 3$
$x^{2} / (1 - [1/2]) = 1 / 3$
$x^{2}/([2/2]-[1/2])=1/3$
$x^{2}/([2-1]/2)=1/3$
$x^{2}/(1/2)=1/3$

Passando 1 / 2 pro outro lado, vai multiplicando:

$x^{2}=(1/3)*(1/2)$
$x^{2}=1/6$
$x=+-\sqrt{1/6}$
$x=+-1/ \sqrt{6}$

Racionalizando:

$x=+- \sqrt{6} /6$