Question

1)Uma elipse de centro na origem tem focos sobre o eixo 0x, excentricidade e=2/3 e passa pelo ponto P(2,-5/3). Determine sua equação

Answer 1

Como o foco desta elipse está em Ox, entao a equação geral da mesma será:

(X²/a²)  +  (Y²/b²) = 1

A excentricidade da elipse é dada pela expressao:

e = c/a

como e = 2/3 (dito no problema), concluímos que:

2/3 = c/a

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a = 3

c = 2

Com esses valores acima, temos a prévia da equação:

(X²/a²)  +  (Y²/b²) = 1

(X²/3²)  +  (Y²/b²) = 1

(X²/9)  +  (Y²/b²) = 1      i

Para b temos 2 opcoes:

→ b² = a² - c²

OU

→ substituirmos o valor de P na equaçao i

fazendo pela substituição (o mais dificil)

P(2; -5/3)  e  (X²/9)  +  (Y²/b²) = 1

(2²/9)  +  ((-5/3)²/b²) = 1

(4/9)  +  (25/9÷b²) = 1

(4/9) + (25/9b²) = 1  (mmc = 9b²)

4b² + 25 = 9b²

9b² - 4b² = 25

5b² = 25

b² = 25/5

b² = 5

b = √5

OU

b² = a² - c²

b = √(3² - 2²)

b = √(9 - 4)

b = √5

Logo

a = 3

b = √5

c = 2

Sendo assim a equação desta elipse será

(X²/a²)  +  (Y²/b²) = 1

(X²/3²)  +  (Y²/√5²) = 1

(X²/9)  +  (Y²/5) = 1