Question

Preciso de ajuda para responder essa questão de física.

A aceleração de um móvel, que se move em uma dimensão, é dada por

a(t) = a0 − bt, onde a0 e b são constantes positivas.


(a) No sistema internacional de unidades (SI), quais são as unidades de medida

de a0 e de b?


(b) Suponha que no instante inicial, t=0, o móvel tenha velocidade v0 = 4 m/s,

e que as constantes a0 e b, no SI, valham, respectivamente, 3 e 2. Determine

o instante de tempo, tI , onde há inversão no sentido de movimento. Dica:

Desenhe o gráfico a × t, e interprete o significado físico da área entre a curva

a(t) e o eixo t.


(c) Encontre uma expressão analítica para a função horária da velocidade, v(t),

para 0 ≤ t ≤ tI .


(d) Determine o deslocamento deste móvel entre t = 0 e t = tI .

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Answer 1

O móvel começa a mudar a direção do movimento no instante t = 4 s.

a) Vamos fazer a análise dimensional a partir da fórmula fornecida:

a(t) = a0 - bt

a(t), no SI, tem unidade m/s. Sendo assim, a0 e o produto bt também deve ter a mesma unidade de a(t). Logo:

a0 possui unidade de m/s também.

bt deve possuir a unidade m/s. Contudo t possui a unidade de s (segundos), portanto b deve ter a unidade de m/s³, pois (m/s³)*s = m/s².

b) Temos uma relação direta entre a área do gráfico de a(t) com o eixo horizontal t. Ela é dada por:

$V_2 - V_1 = Area$

, onde essa área é a área entre a(t) e o eixo t entre os instantes t1 e t2.

Um fato interessante, conforme destaquei no gráfico anexado no final da resolução, vamos calcular a área de dois triângulos. O primeiro é fixo, mas o segundo vamos variar suas dimensões até que encontremos V2 = 0, que é onde o movimento muda de sentido.

Existe uma relação entre a altura e a base desse segundo triângulo, ela é dada pela equação da reta a(t):

b = 2h

, onde b é a base do triângulo e h sua altura. Logo, sua área será:

A2 = bh/2 = 2h*h/2 = h² (sendo h = t, no gráfico).

Portanto, vamos ter:

V2 - 4 = 1,5*3/2 - h²

Para V2 = 0:

0 - 4 = 2,25 - h²

h² = 2,25 + 4 = 6,25

h = 2,5 s

Agora temos que acrescentar o tempo contido no primeiro triângulo:

t = h + 1,5 = 4 s

c) Basta integrarmos a equação da aceleração:

$v(tl) = \int\limits^{t}_0 {a(t)} \, dt = \int\limits^{t}_0 {3 - 2t} \, dt = (3t - t^2)|^{t}_0 + C = 3t - t^2 + C$

Vamos aplicar a condição de contorno inicial v(0) = 4 m/s:

v(0) = 4

0 - 0 + C = 4

C = 4

Logo: v(t) = 3t - t² + 4

d) Vamos aplicar uma integral definida de t = 0 para t = 4 s:

$d = \int\limits^{4}_0 {v(t)} \, dt = \int\limits^{4}_0 {3t - t^2 + 4} \, dt = (3t^2/2 - t^3/3 + 4t)|^4_0 = (24 - 21,33 + 16 - 0 - 0 - 0) = 18,67 m$

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