Question

Qual ponto de interseção das funções/dos gráficos?


Estava tendo uns devaneios matemáticos e tracei os gráficos de duas funções


A função f(x) =


$x^{\frac{1}{x} }$


e da função g(x) =

$x^{\frac{1}{x!} }$


Eu vejo no gráfico claramente (e também fazendo umas continhas) que 1 é um ponto de intercecção entre elas


pois faz sentido


Mas eles tem um outro ponto de interseção próximo a 3.5

(veja a foto)


Como eu consigo achar esse outro ponto de intersecção ?


Tentei fazer todo tipo de cálculo mas buguei total, alguém pode ajudar?

(Vale 100 pontinhos ☺ ☆ )

Answer 1

Desenvolvendo para x ≠ 0

${x}^{ \frac{1}{x} } = {x}^{ \frac{1}{x!}} \\ \frac{1}{x} = \frac{1}{x!} \\ x! = x$

Analisando quais números tem seu fatorial igual a ele próprio, temos o conjunto {1, 2}

Creio que você inseriu as equações erradas no geogebra. Segue em anexo a imagem dos gráficos ampliada.

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

$x^{\frac{1}{x}}=x^{\frac{1}{x!}}\\\\\frac{1}{x}=\frac{1}{x!}\\\\x!=x\\\\x(x-1)!=x\\\\(x-1)!=1\\\\(x-1)!=1!\\\\x-1=1\\\\x=2\\ou\\(x-1)!=0!\\\\x-1=0\\\\x=1$

$y=x^{\frac{1}{x}}\\\\p/x=1\\y=1\\\\(1,1)\\\\ p/x=2\\\\y=2^{\frac{1}{2}} =\sqrt{2}\\\\(2,\sqrt{2})$