Question

POR FAVOR, boas almas, preciso entender isso pra fazer a PROVA!!

(UEL) Uma função f, do 2° grau, admite as raízes -1/3 e 2 e seu gráfico intercepta o eixo y no ponto (0,-4). É correto afirmar que o valor:

a) mínimo de f é -5/6
b) máximo de f é -5/6
c) mínimo de f é -13/3
d) máximo de f é -49/9
e) mínimo de f é -49/6

obs: resposta com explicação, por favor.​

Answer 1

Uma função do 2° grau possui duas raízes, e elas são conhecidas neste exercício.

Uma função do 2° grau pode ser escrita em função de suas raízes:

$y = (x - r_1) \cdot (x - r_2)$

Onde $r_1$ e $r_2$ são as duas raízes. Substituindo-as:

$y = \left(x - \left(-\dfrac{1}{3}\right)\right) \cdot \left(x - 2\right)$

Fazendo a multiplicação distributiva:

$y = x^2 - 2 \cdot x + \dfrac{1}{3}\cdot x - \dfrac{2}{3}$

$y = x^2 - \dfrac{6}{3} \cdot x + \dfrac{1}{3}\cdot x - \dfrac{2}{3}$

$y = x^2 - \dfrac{5}{3} \cdot x - \dfrac{2}{3}$

Mas agora temos um detalhe interessante, ele diz que o gráfico intercepta o eixo y no ponto (0,-4). Isto é: quando x é 0, y vale -4. Mas se você substituir o valor de x por 0 na equação acima, você vai obter, y = -2/3. Então, como é que faz? Senta e chora? Não. Porque na verdade, se multiplicarmos essa função por uma constante K, as raízes continuam as mesmas, apenas mudando a intersecção da curva com o eixo y. Basta descobrir o valor de K. Qual o valor que, multiplicado por 2/3 dá 4?

$K \cdot \dfrac{2}{3} = 4$

$K = 4 \cdot \dfrac{3}{2} = 2 \cdot 3 = 6$

Ou seja, a função do 2° grau é, na verdade:

$f(x) = K \cdot \left(x^2 - \dfrac{5}{3} \cdot x - \dfrac{2}{3}\right)$

$f(x) = 6 \cdot \left(x^2 - \dfrac{5}{3} \cdot x - \dfrac{2}{3}\right)$

$f(x) = 6 \cdot x^2 - 6 \cdot \left(\dfrac{5}{3} \cdot x\right) - 6 \cdot \left( \dfrac{2}{3}\right)$

$\boxed{f(x) = 6 \cdot x^2 - 10 \cdot x - 4}$

E o que é que isso representa? Muita coisa. A partir dessa função já sabemos que o valor de a é positivo e o gráfico tem concavidade para cima. O que significa que a função tem apenas valor mínimo, então as alternativas B e D já estão descartadas. Como calcular esse mínimo?

O mínimo (ou máximo) é o valor do vértice y da parábola. Pode ser calculado por:

$y_v = -\dfrac{\Delta}{4 \cdot a}$

ou:

$y_v = -\left(\dfrac{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}{4 \cdot a}\right)$

Sendo, de acordo com a função encontrada, a = 6, b = -10 e c = -4:

$y_v = -\left(\dfrac{(-10)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-4)}{4 \cdot 6}\right)$

$y_v = -\left(\dfrac{100 + 96}{24}\right)$

$y_v = -\dfrac{196}{24}$

Simplificando:

$y_v = -\dfrac{196}{24} = -\dfrac{98}{12} = \boxed{-\dfrac{49}{6}}$

Alternativa E)