Question

Determine o valor de X correspondente ao maximo da função f(x)=5x²-x³ localizando entre os valores X=0 e X=5

Answer 1

Utilizando derivadas, temos que o ponto máximo é em x= 10/3.

Explicação passo-a-passo:

Os valores máximos e mínimos de uma função qualquer são dadas pelos pontos, onde sua derivada é igual a 0, assim, basta derivarmos esta função e igualarmos ela a 0:

$f(x)=5x^2-x^3$

$f'(x)=10x-3x^2$

$0=10x-3x^2$

$3x^2-10x=0$

Assim basta encontrarmos as raízes desta equação do segundo grau por meio de Bhaskara:

$x_1=0$

$x_2=\frac{10}{3}=3,333...$

Assim temos dois pontos onde ela é critica, agora vamos descobrir quais destes pontos é o máximo e qual é o mínimo, derivando novamente:

$f'(x)=10x-3x^2$

$f''(x)=10-6x$

Agora basta substituir os pontos críticos na segunda derivada, se der um número positivo, então é mínimo, se der uma número negativo, então é máximo:

Usando $x_1=0$:

$f''(x)=10-6x$

$f''(0)=10-6.0=10$ --> Ponto Mínimo.

Usando $x_2=\frac{10}{3}$:

$f''(x)=10-6x$

$f''(0)=10-6.\frac{10}{3}=10-20=-10$ --> Ponto Máximo.

Assim o ponto máximo é em x= 10/3.