Question

A diferença entre o cubo da soma e o cubo da diferença de dois números naturais, dividida pelo produto do dobro do segundo número, é:
a) O triplo do quadrado do primeiro acrescido do quadrado do segundo
b) O quadruplo do segundo
c) É o quadrado do primeiro acrescido do quadrado do segundo
d) É o quíntuplo do primeiro acrescido do quadrado do segundo

Answer 1

A diferença entre o cubo da soma e o cubo da diferença de dois números naturais, dividida pelo produto do dobro do segundo número é o triplo do quadrado do primeiro acrescido do quadrado do segundo.

Vamos considerar que x e y são os dois números naturais, sendo x o primeiro e y o segundo.

O cubo da soma entre dois números é definido por:

• (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³.

Já o cubo da diferença entre dois números é igual a:

• (x - y)³ = x³ - 3x²y + 3xy² - y³.

Sendo assim, a diferença entre o cubo da soma e o cubo da diferença é igual a:

(x³ + 3x²y + 3xy² + y³) - (x³ - 3x²y + 3xy² - y³) = x³ + 3x²y + 3xy² + y³ - x³ + 3x²y - 3xy² + y³

(x³ + 3x²y + 3xy² + y³) - (x³ - 3x²y + 3xy² - y³) = 6x²y + 2y³.

Agora, o produto do dobro do segundo número é igual a 2y.

Então, temos o seguinte quociente: (6x²y + 2y³)/2y.

Observe que no numerador podemos colocar 2y em evidência. Então, o quociente é igual a 3x² + y², ou seja, temos o triplo do quadrado do primeiro acrescido do quadrado do segundo.