Numa vidraçaria há um pedaço de espelho com o formato de
um triângulo retângulo, cujos catetos AB e AC medem,
respectivamente, 80 cm e 60 cm. Para aproveitar esse pedaço de
espelho, o vidraceiro quer, a partir dele, recortar um outro
espelho, na forma de um retângulo, de modo que dois de seus
lados devam estar sobre os catetos do triângulo e o quarto vértice
sobre a sua hipotenusa, conforme esboçado na figura abaixo.
Sabendo-se que o espelho retangular deve ser recortado de forma que tenha a maior área possível,e sendo S tal área em cm ao quadrado ,determine S
Respostas
A maior área possível é igual a 1200 cm².
Vamos considerar que a base do retângulo de área S é igual a y e a altura é igual a x.
Observe a figura abaixo.
Se AB = 80, então AD = x e DB = 80 - x.
Se AC = 60, então AF = y e FC = 60 - y.
Perceba que os triângulos ABC e EFC são semelhantes. Então, podemos dizer que:
80/60 = x/(60 - y)
4/3 = x/(60 - y)
240 - 4y = 3x
4y = 240 - 3x
y = 60 - 3x/4.
A área de um retângulo é igual ao produto de suas dimensões, ou seja, S = x.y.
Sendo assim:
S = x.(60 - 3x/4)
S = 60x - 3x²/4.
Observe que a área encontrada é uma função do segundo grau.
Para calcularmos a área máxima, precisamos calcular o y do vértice da função.
O y do vértice é definido por -Δ/4a.
Calculando o valor de Δ:
Δ = 60² - 4.(-3/4).0
Δ = 3600.
Portanto, a área máxima é igual a:
yv = -3600/4.(-3/4)
yv = 3600/3
yv = 1200.
Resposta: 675 cm2
Explicação passo-a-passo:
Vamos considerar que a base do retângulo de área S é igual a y e a altura é igual a x.
Observe a figura abaixo.
Se AB = 80, então AD = x e DB = 80 - x.
Se AC = 60, então AF = y e FC = 60 - y.
Perceba que os triângulos ABC e EFC são semelhantes. Então, podemos dizer que:
80-x/x = y/60-y
(80 - x) (60 - y) = xy
3600 - 80y - 60x + xy = xy
180 - 4y - 3x = 0
y = 180 - 3x/4
A área de um retângulo é igual ao produto de suas dimensões, ou seja, S = x.y.
Sendo assim:
S = x.(180 - 3x/4)
S = -3/4x2 + 45x
Observe que a área encontrada é uma função do segundo grau.
Para calcularmos a área máxima, precisamos calcular o y do vértice da função.
O y do vértice é definido por -Δ/4a.
Calculando o valor de Δ:
Δ = 2025
Área máxima é o Y do vértice.
yv = 2025/4.-3/4
Yv = 2025/3
Yv = 675 cm2