Question

Construa o gráfico das funções F(x) =-x²-x-1

Answer 1

Como a função é do 2° grau (maior expoente de "x" vale 2), sua representação gráfica será uma parábola.

Os coeficientes da função são:

--> a = -1

--> b = -1

--> c = -1

A concavidade dessa parábola é definida pelo sinal do coeficiente "a".

Como o sinal de "a" é negativo, a concavidade é voltada para baixo.

Calculo das Raízes:

Podemos determinar as raízes utilizando a formula de Bhaskara:

$\Delta~=~(-1)^2-4.(-1).(-1)~=~1-4~=~\boxed{-3}\\\\\\\\x'~=~\dfrac{1+\sqrt{-3}}{2~.~(-1)}~=~\dfrac{1+i.\sqrt{3}}{-2}~=~\dfrac{-1-i.\sqrt{3}}{2}~=~\boxed{-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\\\\\\\\x''~=~\dfrac{1-\sqrt{-3}}{2~.~(-1)}~=~\dfrac{1-i.\sqrt{3}}{-2}~=~\dfrac{-1+i.\sqrt{3}}{2}~=~\boxed{-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$

Ponto Sobre o Eixo "y":

Sabemos que a parábola intercepta o eixo das ordenadas (eixo y) no ponto (0 , c), como o coeficiente "c" vale -1, este ponto será: (0 , -1)

Vértice da Parábola:

O vértice da parábola é o seu ponto máximo, quando o coeficiente "a" é negativo, ou seu ponto mínimo, quando "a" é positivo. Neste caso, como temos "a" negativo, o vértice representa seu ponto máximo.

Vamos determinar então este ponto:

$Vertice:~~(V_x~,~V_y)~=~\left(-\dfrac{b}{2a}~,\,-\dfrac{\Delta}{4a}\right)\\\\\\\\Vertice:~~(V_x~,~V_y)~=~\left(-\dfrac{(-1)}{2~.~(-1)}~,\,-\dfrac{-3}{4~.~(-1)}\right)\\\\\\\\Vertice:~~(V_x~,~V_y)~=~\left(-\dfrac{-1}{-2}~,\,-\dfrac{-3}{-4}\right)\\\\\\\\\boxed{Vertice:~~(V_x~,~V_y)~=~\left(-\dfrac{1}{2}~,\,-\dfrac{3}{4}\right)}$

Como as raízes calculadas são complexas, não estarão representadas no plano Real. No gráfico serão representados, então, apenas 2 pontos de interesse: o vértice e o ponto sobre o eixo "y".

Para construir o gráfico, basta localizarmos estes dois pontos no plano cartesiano e traçar uma parábola por eles.

Obs.: Para tornar o esboço mais "fiel", podemos ainda calcular outros pontos do gráfico (O ponto onde x = -5, por exemplo)

O resultado deverá ser semelhante ao apresentado em anexo.