Question

A sequencia an=10/n+4 converge para um número L, no caso L = 0. De posse da desigualdade lan -LI < &.
encontre o primeiro n que satisfaça a sentença acima ou seja a diferença em módulo entre
an e L seja menor que& =1/100
Mostre os coloulos efetuados.​

Answer 1

analisando a desigualdade da sequência dada, temos que o primeiro termo que esta sequência é menor que 1/100 se da em n=997.

Explicação passo-a-passo:

Assim queremos que esta diferença seja menor que 1/100, ou seja:

$|\frac{10}{n+4}-L|<\frac{1}{100}$

$|\frac{10}{n+4}-0|<\frac{1}{100}$

$|\frac{10}{n+4}|<\frac{1}{100}$

Assim basta resolvermos separando os modulos:

$|\frac{10}{n+4}|<\frac{1}{100}$

$\frac{|10|}{|n+4|}<\frac{1}{100}$

Modulo de número natural é ele mesmo:

$\frac{10}{|n+4|}<\frac{1}{100}$

Podemos passar o 100 multiplicando pois ele é um número positivo:

$\frac{10.100}{|n+4|}<1$

Da mesma forma podemos passar o modulo denominador multiplicando, pois o modulo garante que ele é positivo:

$\frac{1000}{|n+4|}<1$

$1000<|n+4|$

Podemos retirar este modulo do n+4, pois n obviamente é um número menor que 0, afinal esta é uma sequência natural, então o interior deste modulo é obviamente positivo:

$1000<n+4$

$1000-4<n$

$996<n$

Assim o primeiro termo que esta sequência é menor que 1/100 se da em n=997.