Question

Sabendo que o conjunto solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial, determine uma base para o conjunto solução do sistema linear seguinte:

x + y + z = 0
2x - y - 3z = 0
x - 2y - 4z = 0

Answer 1

Resposta:

(x,y,z)=($-\frac{2}{5} y,y,-\frac{3}{5} y$), y∈R

Explicação passo-a-passo:

x+y+z=0

2x-y-3z=0

x-2y-4z=0

-Calcule o valor de x na seguinte equação

x=-y-z

2x-y-3z=0

x-2y-4z=0

Substitua o valor dado de x na equação 2x-y-3z=0

2(-y-z)-y-3z=0

x-2y-4z=0

Substitua o valor dado de x na equação x-2y-4z=0

2(-y-z)-y-3z=0

-y-z-2y-4z=0

Simplifique a expressão

-3y-5z=0

-3y-5z=0

Multiplique ambos os membros da equação por -1

-3y-5z=0

3y-5z=0

Some as equações verticalmente para eliminar pelo menos uma variável

0=0

A afirmação é verdadeira para qualquer valor de y e z que satisfaça ambas as equações do sistema. Portanto, a solução em forma paramétrica é

z=$-\frac{3}{5} y$

Substitua o valor dado de z na equação x=-y-z

x=-y-$(-\frac{3}{5})y$

Simplifique a expressão

x=$-\frac{2}{5}y$

A solução do sistema é o trio ordenado (x,y,z)

(x,y,z)=($-\frac{2}{5} y,y,-\frac{3}{5} y) y$∈ R

Verifique se o trio ordenado dado é solução do sistema de equações

$(-\frac{2}{5} y) + y +(-\frac{3}{5} y)=0$

2×($(-\frac{2}{5}y)+ y +(-\frac{3}{5}y)=0$

$(-\frac{2}{5}y) - 2y - 4$×$(-\frac{3}{5}y) = 0$

Simplifique as igualdades

0=0

0=0

0=0

O trio ordenado é a solução do sistema de equações, já que as equações forem verdadeiras

(x,y,z)=($-\frac{2}{5} y,y,-\frac{3}{5} y$), y∈R