Question

4) As transformações lineares, cada uma definida como sendo uma transformação que leva elementos de um
espaço Rn até um outro espaço Rm possui alguns parâmetros que podem ser analisados, dentre os quais, sua
imagem e seu núcleo. Esses elementos são importantes na avaliação do número de dimensões da transformação
linear.
T(x,y,z) = (x + y, x,x + y + z)
Sobre a transformação acima, responda:
a) Qual a Imagem e o Núcleo da Transformação?
b) Qual a matriz da transformação linear?​

Answer 1

A imagem é IR³ e o núcleo é (0,0,0); A matriz da transformação linear é $T(x,y,z)=\left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\1&0&0\\1&1&1\end{array}\right].\left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right]$.

a) Primeiramente, vamos determinar o núcleo da transformação.

Para isso, devemos igualar a transformação ao vetor nulo. Assim:

(x + y, x, x + y + z) = (0,0,0).

Daí, obtemos o seguinte sistema linear:

{x + y = 0

{x = 0

{x + y + z = 0.

Da segunda equação, obtemos que x = 0. Substituindo esse valor na primeira equação, encontramos y = 0.

Substituindo os valores de x e y na terceira equação, obtemos z = 0.

Portanto, podemos concluir que o núcleo da transformação é N(T) = {(0,0,0)}.

É verdade que dim IR³ = dim N(t) + dim Im(T).

Então, a dimensão da imagem é igual a: 3 = 0 + dim Im(T) ∴ dim Im(T) = 3.

Isso quer dizer que a Imagem da transformação é o próprio IR³.

b) Para determinarmos a matriz da transformação, observe que:

(x + y, x, x + y + z) = x(1,1,1) + y(1,0,1) + z(0,0,1).

Então, para montarmos matriz da transformação colocaremos os três vetores nas colunas de uma matriz 3x3 e multiplicaremos pela matriz coluna com o vetor (x,y,z).

Portanto, a matriz de transformação é:

$T(x,y,z)=\left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\1&0&0\\1&1&1\end{array}\right].\left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right]$.