Question

Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f (x)= x³ no ponto x = 2​

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

f'(x)=3x²

f'(2)=3.2²=12

Para x=2 temos f(2)=2³=8

equação da reta

y-8=12.(x-2)

y=12x-24+8

$\boxed{y=12x-16}$

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a reta tangente a função pelo ponto de tangencia é:

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t: y = 12x - 16\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

                           $\Large\begin{cases} f(x) = x^{3}\\x_{T} = 2\end{cases}$

Para montar a equação da reta tangente devemos utilizar a fórmula "ponto/declividade", ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$              $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - y_{T} = m_{t}\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$

Se a ordenada do ponto "T" é:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(II)\end{gathered}$                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} y_{T} = f(x_{T})\end{gathered}$

E o coeficiente angular da reta tangente é a derivada primeira da função em termos de "x", ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(III)\end{gathered}$                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} m_{t} = f'(x_{T})\end{gathered}$     

Substituindo as equações "II" e "III" em "I", temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(IV)\end{gathered}$       $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - f(x_{T}) = f'(x_{T})\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$

Substituindo os dados na equação "IV" e desenvolvendo os cálculos, temos:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 2^{3} = 3\cdot2^{2}\cdot(x - 2)\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 8 = 12\cdot(x - 2)\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 8 = 12x - 24\end{gathered}$

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 12x - 24 + 8\end{gathered}$

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 12x - 16\end{gathered}$

✅ Portanto, a reta tangente é:

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} t: y = 12x - 16\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$