Question

Encontre os valores de a tal que a função f(x) seja contínua no ponto x=0

Answer 1

Boa noite!

Parece um monstro a questão! Uuuau! kkkk mas é muito simples, esses professores de cálculo...

Para que f(x) seja contínua no ponto onde x=0, que o $\lim_{n \to 0} f(x)$ exista e f(x)=|a+2| seja igual a esse limite.

Logo, calculando,
$\lim_{x \to 0} f(x)$
$\lim_{x \to 0} \frac{ln(1-4x)}{cotg(2x-\frac{pi}{2})}$
$\frac{\lim_{x \to 0} ln(1-4x)}{\lim_{x \to 0} cotg(2x-\frac{pi}{2})}}$ O limite de um quociente é o quociente dos limites.
$\frac{ln{\lim_{x \to 0}(1-4x)}}{cotg{\lim_{x \to 0}(2x-\frac{pi}{2}}$ O limite entra no logaritmo, por regra, e o limite entra na cotangente por que ela é uma função trigonométrica.
$\frac{ln(\lim_{x \to 0}1-\lim_{x \to 0}4x}}{cotg(\lim_{x \to 0}(2x)-\lim_{x \to 0}{\frac{pi}{2})}$
O limite da diferença é a diferença dos limites, claro se eles existirem.
$\frac{ln(1-4(0))}{cotg(2(0)-\frac{pi}{2})}$, limite de uma constante e aplicação do limite em uma variável
$\frac{ln(1)}{cotg(-\frac{pi}{2})}$

Bom f(x) tem que ser igual a esse limite que foi calculado, então:
$|a+2|=\frac{ln(1)}{cotg(-\frac{pi}{2})}$

Se a > -2,
$a+2=\frac{ln(1)}{cotg(-\frac{pi}{2})}$
$a=-2+\frac{ln(1)}{cotg(-\frac{pi}{2})}$

Se a < - 2,
$a=+2+\frac{ln(1)}{cotg(-\frac{pi}{2})}$

Se a = -2,
Não teríamos uma continuidade, pois $\frac{ln(1)}{cotg(-\frac{pi}{2})}$ é diferente de zero.