Question

Seja P um ponto na interseção da circunferência de centro (0,0) e raio 1 com reta y = 2x. Qual o ponto P?

Answer 1

Olá, vamos lá.

Para começar a solução do exercício é necessário entender a Equação Reduzida da Circunferência, que é dado por:

$(x-x_o)^2+(y-y_o)^2=r^2$

Onde:

$(x_0,y_0)$ é a coordenada do ponto que fica no centro da circunferência;

$r$ é o raio da circunferência.

Com os valores dado no enunciado, é possível montar a equação:

$(x-0)^2+(y-0)^2=1^2$

Têm-se a equação da circunferência.

$x^2+y^2=1$

Para saber o ponto em que a reta cruza, basta isolar uma incógnita ("x" ou "y") da reta e substituir na equação da circunferência, já que o ponto é igual para ambas:

$y=2x$

Substituindo:

$x^2+y^2=1$

$x^2+(2x)^2=1$

$x^2+4x^2=1$

$5x^2=1$

Isolando a incógnita "x":

$x^2=\dfrac{1}{5}$

$x=\pm\sqrt{\dfrac{1}{5}}$

Só melhorando a equação racionalizando:

$x=\pm\dfrac{\sqrt{5}}{5}$

Temos agora bastante substituir na equação da reta e encontrar "y":

$y=2(\pm\dfrac{\sqrt{5}}{5})$

$y=\pm\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

Temos, portanto as possíveis coordenadas para o ponto P:

$\boxed{P(\dfrac{\sqrt{5}}{5},\dfrac{2\sqrt{5}}{5})}$

$\boxed{P(\dfrac{-\sqrt{5}}{5},\dfrac{-2\sqrt{5}}{5})}$

Espero que tenha entendido, bons estudos.