Question

O raio r e a altura h de um cilindro circular reto aumentam respectivamente à razão de 0,02 cm/min e 0,03 cm/mim. Determine qual a taxa de variação do volume em relação ao tempo, em cm³/min, quando r = 7cm e h = 9 cm.

Answer 1

Dados do exercício:

$\dfrac{dr}{dt}=0,02~cm/min~~~~~~~~~\dfrac{dh}{dt}=0,03~cm/min$
_______________________________

Achando a expressão do volume em função de 'r' e 'h':

$V=A_{base}\cdot h\\V=\pi\cdot r^{2}\cdot h$

Derivando a equação implicitamente em relação ao tempo:

$\dfrac{dV}{dt}=\pi\cdot\dfrac{d}{dt}(r^{2}h)\\\\\\\dfrac{dV}{dt}=\pi\cdot\left(2r\dfrac{dr}{dt}h+r^{2}\dfrac{dh}{dt}\right)~~~~~~(utilizei~a~regra~do~produto)$

Substituindo (dr/dt), (dh/dt), r e h na expressão:

$\dfrac{dV}{dt}=\pi\cdot\left(2\cdot7\cdot0,02\cdot9+7^{2}\cdot0,03\right)\\\\\\\dfrac{dV}{dt}=\pi\cdot(2,52+1,47)\\\\\\\dfrac{dV}{dt}=\pi\cdot3,99\\\\\\\boxed{\boxed{\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{399\pi}{100}~cm^{3}/min}}$