Question

Uma empresa comprou um equipamento por R$ 30.000,00. Cada produto será fabricado a um custo de R$ 40,00 e será vendido por R$ 70,00. Quantas unidades devem ser produzidas e vendidas no ponto de equilíbrio?

Answer 1

Bom dia,
Pela definição de ponto de equilíbrio, temos, um ponto onde a empresa não tem  lucro,  mas também não tem prejuízo,
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A empresa comprou um equipamento por R$ 30.000,00, ou seja, temos 30.000,00 de despesa, então, - R$ 30.000,00
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O custo de cada produto é  R$ 40,00*x,  ou seja, - R$ 40,00*x, pois é uma despesa e x equivale a quantidade de produto.
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O custo de venda do produto é R$ 70,00*x, ou seja + R$ 70,00*x, pois é uma receita e x equivale a quantidade de produto.
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Somando todas as despesas e receitas, temos,
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- R$ 30.000,00+R$ 70,00*x - R$ 40,00*x
- R$ 30.000,00+x(R$ 70,00 - R$40,00), colocando x em evidência
- R$ 30.000,00+R$30,00*x
Como queremos a quantidade de produtos que devem ser produzidas e vendidas no  ponto de equilíbrio, então, igualaremos a expressão encontrada a 0, pois ponto de equilíbrio não há lucro nem prejuízo.
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- R$ 30.000,00+R$30,00*x=0
R$30,00*x=R$ 30.000,00
$\frac{30000}{30}$ Corta-se o sinal R$ como se fosse um número.
$1000$ produtos.

Answer 2

$Considerando:\\\\ q \rightarrow quantidade$

O custo será o valor de aquisição do equipamento, mais o custo por unidade produzida:

$C_{(q)} = 30.000 + 40q$

A receita, será o valor de venda multiplicado pela quantidade vendida:

$R_{(q)} = 70q$

Para encontrar o ponto de equilíbrio, basta igualar as duas fórmulas, para encontrar o valor de q:

$R_{(q)}=C_{(q)}\\\\ 70q = 30.000 + 40q\\\\ 70q - 40q = 30.000\\\\ 30q = 30.000\\\\ q=\dfrac{30.000}{30}\\\\ \boxed{q=1.000\ unidades}$

A empresa precisará produzir e vender 1.000 unidades, para obter o ponto de equilíbrio.

Espero ter ajudado.
Bons estudos!