Question

De acordo como o que foi estudado nos teoremas para campos vetoriais conservativos, pode-se determinar a ʃC F. dr pelo teorema fundamental da integral de linha ʃC Vf.dr = f(r(b)) – f (r(a)). Uma vez que para esses campos vetoriais, Vf = F. Assim, o valor da ʃC F.dr, sendo que: F(x,y,z) = y² i + (2xy + e³z) j + 3y e³z K e a curva “C”, pode ser representada pela função vetorial, r(t) = (t+1) + (√t) j + (t² - 1) K, com 0 ≤ t ≤ 1

Answer 1

Utilizando o teorema fundamental das integrais de linha e o potencias da função conservativa, temos que esta integral vale 3.

Explicação passo-a-passo:

Então temos a seguinte integral que remos resolver:

$\int \vec{f}\cdot dr$

Onde:

$\int_{t=0}^{t=1} (y^2;2xy+e^{3z};3ye^{3z})\cdot d(t+1;\sqrt{t};t^2-1)$

Mas podemos resolver esta integral muito mais facilmente encontrando sua função potencial F, sendo essa tal que:

$\vec{\nabla}F(x,y,z)=\vec{f}(x,y,z)$

Então note que para esta função potencia F existir, temos que ter:

$\frac{\partial F}{\partial x}=y^2$

$\frac{\partial F}{\partial y}=2xy+e^{3z}$

$\frac{\partial F}{\partial z}=3ye^{3z}$

Note que é fácil ver que esta função completa é:

$F(x,y,z)=xy^2+ye^{3z}$ (Basta verificar fazendo as derivadas).

Caso não acredite, podemos fazer as integrações:

$\frac{\partial F}{\partial x}=y^2$

$F=xy^2+C$

$\frac{\partial F}{\partial y}=2xy+e^{3z}$

$F=xy^2+ye^{3z}+C$

$\frac{\partial F}{\partial z}=3ye^{3z}$

$F=ye^{3z}+C$

Assim juntando essas 3 integrais indefinidas, temos nossa função potencial:

$F(x,y,z)=xy^2+ye^{3z}$

Agora podemos resolver esta integral utilizando o teorema fundamental da integral de linha:

$\int \vec{f}\cdot dr$

E como:

$\vec{\nabla}F(x,y,z)=\vec{f}(x,y,z)$

Então:

$\int \vec{\nabla}F(x,y,z)\cdot dr=(F(t=1)-F(t=0))$

Agora basta encontrarmos x, y e z quando t=0 e quando t=1:

$x=t+1$

$y=\sqrt{t}$

$z=t^2-1$

Quando t=0:

$x=1$

$y=0$

$z=-1$

Quando t=1:

$x=2$

$y=1$

$z=0$

Substituindo estes valores na integral:

$\int \vec{\nabla}F(x,y,z)\cdot dr=(F(t=1)-F(t=0))$

$\int \vec{\nabla}F(x,y,z)\cdot dr=(F(2,1,0)-F(1,0,-1))$

$\int \vec{\nabla}F(x,y,z)\cdot dr=(2.1^2+1.e^{3.0}-1.0^2-0.e^{3.-1})$

$\int \vec{\nabla}F(x,y,z)\cdot dr=(2+1-0-0)$

$\int \vec{\nabla}F(x,y,z)\cdot dr=3$

Assim temos que esta integral vale 3.