Question

Questão de Geo Plana com Progressão Geométrica
*ignorem os rabiscos*
Agradeço desde já​

Answer 1

Primeiramente, gostaria de comentar que o somatório dos termos dessa P.G só é facilmente mensurável porque a constante "q" pertence ao intervalo ]0,1[. Ou seja, cada um dos termos que compõe essa progressão (com exceção do primeiro) é uma fração do termo inicial.

•Agora, vamos à resolução:

#OBS.: as imagens anexadas serão utilizadas para facilitar a comunicação.

Observando o enunciado, percebesse que o problema gira em torno do comportamento das áreas dos círculos. Ou seja, os hexágonos, apenas servem para facilitar a percepção das medidas.

Assim, será procurada uma relação entre a área inicial e as demais áreas para que se note o padrão existente. O que possibilitará o somatório.

-> Haja vista o fato de a área da circunferência depender de apenas uma medida variável: o raio, procura-la-emos e, dessa maneira, com simples manuseio algébrico, conseguiremos a relação de área.

-Agora, análise o anexo:

Sabe-se que um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulo equilátero, mas apenas um será utilizado para fins de estudo: ∆OBC.

• Primeiro, será traçada a bissetriz do ângulo: BCO.
• Depois, traçar-se-á o segmento de reta AN cuja interceptação formará dois ângulos retos com o segmento CB, porque este é tangente no ponto N.

Desse modo, formar-se-á o triângulo ∆ABC retângulo em A e cuja altura NA é o raio do círculo menor.

•∆ABC:

Ao utilizar relações trigonométricas no triângulo, chega-se a conclusão de que:

$BN = \frac{r \sqrt{3} }{3} \\ NC =r \sqrt{3} \\ BC =R \\ \\ BC =BN + NC \\ BC = \frac{4r \sqrt{3} }{3} = R$

R = raio do círculo maior;

r = raio do círculo menor

#Vamos obter a relação de área:

$R = \frac{4r \sqrt{3} }{3} \\ {(\frac{R}{r} )}^{2} = {(\frac{4 \sqrt{3} }{3} )}^{2} \\ (\frac{ {R}^{2} }{ {r}^{2} } ) = \frac{16}{3} \\ \pi{r}^{2} = \frac{3}{16} \times {R}^{2} \pi$

Portanto, a área de um círculo pequeno = 3/16 × (área do círculo grande).

Então, a área dos três círculos é igual a:

$\pi{r}^{2} = \frac{3}{16} \times {R}^{2} \pi \\ 3\pi{r}^{2} = \frac{3}{16} \times {R}^{2} \pi \times 3 \\ 3\pi{r}^{2} = \frac{9}{16} \times {R}^{2} \pi$

•Conclusão:

A razão que multiplica a área inicial é 9/16.

A partir disso, utilizarei a fórmula de uma P.G infinita.

$P.Gsoma = \frac{a1}{1 - q} \\ \\ a1 = \pi {R}^{2} = 7 {dm}^{2} \\ q = \frac{9}{16} \\ \\ P.Gsoma = \frac{7}{1 - \frac{9}{16} } \\ P.Gsoma = \frac{7 \times 16}{7} \\ P.Gsoma = 16 {dm}^{2}$

[...] Qualquer dúvida, é só perguntar.