Question

Ajuda com Derivada de Função

Answer 1

Por definição de derivada, temos:

$f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}.$

Como a função é dada por $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$, o numerador da fração pode ser escrito na forma:

$f(x + h) - f(x) = \dfrac{1}{(x+h)^2} - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x^2 - (x+h)^2}{x^2(x+h)^2}.$

Aplicamos o caso notável do quadrado do binómio ao termo $(x+h)^2$:

$\dfrac{x^2 - (x+h)^2}{x^2(x+h)^2} = \dfrac{x^2 - (x^2 + 2xh + h^2)}{x^2(x+h)^2} = \dfrac{x^2 - x^2 - 2xh - h^2}{x^2(x+h)^2} = \dfrac{-2xh - h^2}{x^2(x+h)^2}.$

A fração pode então ser simplificada para $h \neq 0$:

$\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{1}{h}\times\dfrac{-2xh - h^2}{x^2(x+h)^2} = \dfrac{-2x - h}{x^2(x+h)^2}.$

Tomamos agora o limite quando $h \to 0$:

$\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim\limits_{h \to 0}\dfrac{-2x - h}{x^2(x+h)^2} = \dfrac{-2x - 0}{x^2(x+0)^2} = -\dfrac{2x}{x^4} = -\dfrac{2}{x^3},$

sendo a simplificação válida porque $x \neq 0$.

Resposta: $\boxed{\left(\dfrac{1}{x^2}\right)' = -\dfrac{2}{x^3}}.$