Question

Preciso que alguém resolva essa questão sobre cilindros inscritos em esferas.​

Answer 1

O volume do cilindro é dado por:

$V_{cil} = \pi \cdot r^2 \cdot h$

Sendo que h é a altura, neste caso 2 vezes x.

Para obtermos um volume de $72 \cdot \pi$, precisamos de um raio igual a:

$72 \cdot \pi = \pi \cdot r^2 \cdot 2 \cdot x$

$r^2 = \dfrac{72 \cdot \pi}{2 \cdot \pi \cdot x}$

$r^2 = \dfrac{36}{x}$

$r = \dfrac{\sqrt{36}}{\sqrt{x}}$

$r = \dfrac{6}{\sqrt{x}}$

Como a figura já ilustra, temos um triângulo retângulo, onde os catetos são x e r e a hipotenusa vale 5. Logo, podemos usar o Teorema de Pitágoras para calcular x:

$5^2 = r^2 + x^2$

$25 = \dfrac{36}{x} + x^2$

Multiplicando por x dos dois lados:

$25 \cdot x = 36 + x^3$

ou:

$x^3 - 25 \cdot x + 36 = 0$

Chegamos a uma equação cúbica, a forma mais simples de resolvê-la é encontrando uma raiz e achando as outras duas por Bhaskara. Se perceber, 4 é uma raiz:

$4^3 - 25 \cdot 4 + 36 = 64 - 100 + 36 = 100 - 100 = 0$

Ou seja, uma raiz é 4.

$(x-4) \cdot (x -a) \cdot (x-b) = (x^2 - (a + 4) \cdot x + 4 \cdot a) \cdot (x-b)$

$x^3 - (a+b+4) \cdot x^2 + [b \cdot (a + 4) + 4 \cdot a] \cdot x - 4 \cdot a \cdot b = x^3 - 25 \cdot x + 36$

Assim sendo:

$a + b + 4 = 0$

$a = -(4 + b)$

e:

$- 4 \cdot a \cdot b = 36$

$-4 \cdot -(4 + b) \cdot b = 36$

$(4+b) \cdot b = 9$

$b^2 + 4 \cdot b - 9 = 0$

As raizes desse polinômio, através de Bhaskara são:

$b = \dfrac{-4 \pm \sqrt{16 + 36}}{2}$

$b = \dfrac{-4 \pm \sqrt{52}}{2}$

$b = \dfrac{-4 \pm \sqrt{13 \cdot 4}}{2}$

$b = \dfrac{-4 \pm \sqrt{13} \cdot \sqrt{4}}{2}$

$b = \dfrac{-4 \pm 2 \cdot \sqrt{13}}{2}$

$b = -2 \pm \sqrt{13}$

Estamos interessados apenas na raiz positiva:

$b = \sqrt{13}-2$

Sabendo b, encontramos a:

$a = -4 - \sqrt{13}+2 = -\sqrt{13}-2$

Ou seja, agora sabemos todos os três valores possíveis para x. Dentre eles, o maior é 4, pois raiz quadrada de 13 é menor que 4.

Ou seja, alternativa E