Question

a soma do 14 primeiros termos de uma progressão aritmética é 420 e a soma dos 16 primeiros é 576, então o 1° termo e a razão são respectivamente; a)5 e -2. b) 6 e -9. c) 6 e 9. d) 5 e 2. e) -9 e 6​

Answer 1

Alternativa E: -9 e 6.

Esta questão está relacionada com progressão aritmética. A progressão aritmética é uma sequência de números com uma razão somada a cada termo. Desse modo, a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença é conhecida como razão.

Vamos utilizar a equação da soma de n termos de uma progressão aritmética, escrevendo os termos em função do primeiro termo e da razão. Então, temos as seguintes equações:

$S=\frac{(a_1+a_n)\times n}{2} \\ \\ 420=\frac{(a_1+a_1+13r)\times 14}{2} \rightarrow 2a_1+13r=60 \\ \\ 576=\frac{(a_1+a_1+15r)\times 16}{2} \rightarrow 2a_1+15r=72$

Assim, formamos um sistema com duas equações e duas incógnitas, que possui a seguinte solução:

$(2a_1-2a_1)+(15r-13r)=(72-60) \\ \\ 2r=12 \rightarrow \boxed{r=6} \\ \\ 2a_1+13\times 6=60 \rightarrow \boxed{a_1=-9}$