Question

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Os números a, b e c são raízes do polinômio p(x) = x³ - x² - 4x + 4. Nessas condições, calcule o valor de:
1/a+1/b+1/c

Answer 1

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{bc + ac + ab}{abc} \\ = \frac{ \frac{ - (- 4)}{1} }{ \frac{ - 4}{1} } = \frac{4}{ - 4 } = - 1$

Answer 2

As raízes do polinômio são os valores de x para os quais o polinômio é nulo, ou, graficamente, os pontos onde o gráfico corta o eixo x.

Como é um polinômio de 3° grau, a forma mais fácil de encontrar as três raízes é primeiro estimando uma delas e após encontrando as outras duas através da equação do 2° grau.

Se você tentar x = 1, perceba que o polinômio se anula: $1^3 - 1^2 - 4 \cdot 1 + 4 = 1 - 1 - 4 + 4 = 0$. Ou seja, x = 1 é uma das raízes.

Agora, um polinômio pode ser escrito em função de suas raízes:

$p(x) = (x - r_1) \cdot (x - r_2) \cdot \cdot \cdot (x - r_n)$

Como uma raíz já é conhecida, podemos utilizar este método para descobrir as outras duas:

$p(x) = (x-a) \cdot (x - b) \cdot (x - 1)$

Onde a e b são as duas raízes desconhecidas.

Expandindo:

$p(x) = (x^2 - (a + b) \cdot x + a \cdot b) \cdot (x - 1)$

$p(x) = x^3 - (a+b+1) \cdot x^2 + (a + b + a \cdot b) \cdot x - a\cdot b$

Agora perceba que o polinômio original é:

$p(x) = x^3 - x^2 - 4 \cdot x + 4$

Comparando os dois polinômios, temos que, para que eles sejam iguais:

$\[\begin{cases} a+b+1 = 1\\ a + b + a \cdot b = -4\\- a \cdot b = 4\end{cases}\]$

Começando pela primeira linha temos que:

$a + b = 1 - 1 = 0$

Assim:

$a = -b$

Agora, na terceira linha, se substituirmos a por -b:

$-(-b) \cdot b = 4$

Logo:

$b^2 = 4$

$b = \pm 2$

E assim sendo:

$a = \mp 2$

Ou seja, as raízes são: $a = 2\text{, }b = -2\text{ e }c = 1$

Precisamos calcular:

$x = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$

$x = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{1}$

$\boxed{x = 1}$

Em anexo, plotei o gráfico da função para confirmar as raízes.