Question

Resolva a equação logaritma​

Answer 1

Primeiro use a propriedade:

$\sqrt[b]{k}^{a} = k^{\frac{a}{b}}$

Para transformar a raiz cúbica em exponencial:

$(x^{\frac{1}{3}})^{\log_{x}[x^2+2]}= 2 \cdot \log_{3}[\sqrt{27}]$

Agora usamos a propriedade:

$(a^{b})^{c} = a^{b \cdot c}$

Ou seja, expoente do expoente é o mesmo que multiplicar os expoentes. Vai ficar assim:

$x^{\frac{1}{3} \cdot \log_{x}[x^2+2]}= 2 \cdot \log_{3}[\sqrt{27}]$

Note que:

$27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$

Usando a primeira propriedade, podemos transformar a raiz quadrada em exponencial:

$x^{\frac{1}{3} \cdot \log_{x}[x^2+2]}= 2 \cdot \log_{3}[\sqrt{3}^3]$

$x^{\frac{1}{3} \cdot \log_{x}[x^2+2]}= 2 \cdot \log_{3}[3^{\frac{3}{2}}]$

Agora, temos uma propriedade dos logaritmos que diz:

$\log_{a}[b]^c = c \cdot \log_{a}[b]$

Vamos utilizá-la duas vezes. Uma vez para mandar o 1/3 para cima do logaritmo na esquerda e depois para mandar o 1/3 da direita multiplicando o logaritmo:

$x^{\log_{x}[x^2+2]^{\frac{1}{3}}}= 2 \cdot\dfrac{3}{2} \cdot \log_{3}[3]$

Agora podemos nos livrar dos logaritmos, utilizando as seguintes propriedades:

$a^{\log_{a}[b]^c} = b^{c}$

e:

$\log_{a}[a] = 1$

Assim:

$[x^2+2]^{\frac{1}{3}}= 3 \cdot 1$

$[x^2+2]^{\frac{1}{3}}= 3$

Agora podemos elevar a 3 dos dois lados da equação:

$\left[(x^2+2)^{\frac{1}{3}}\right]^{3}= 3^3$

$\left[(x^2+2)^{1}\right]= 27$

$x^2+2= 27$

Agora, passamos o 2 subtraindo para a esquerda:

$x^2= 27-2$

$x^2= 25$

Aplicando a raiz quadrada:

$x= \pm \sqrt{25}$

$x= \pm 5$

Como não podemos ter logaritmo de base negativa, descartamos a solução negativa, então:

$\boxed{x= 5}$