(UFRGS-adaptado) A sequência representada na figura é formada por infinitos triângulos equiláteros. O lado do primeiro triângulo mede 1 e a medida do lado de cada um dos outros triângulos é 3/4 da medida do lado do triângulo imediatamente anterior. Assinale a alternativa que indica a soma dos perímetros de todos os triângulos dessa sequência.
a.
12
b.
15
c.
9
d.
N. D. A.
e.
18
Respostas
A alternativa que indica a soma dos perímetros de todos os triângulos dessa sequência é a) 12.
Se o lado do primeiro triângulo é 1, então o seu perímetro é 1 + 1 + 1 = 3.
O segundo triângulo terá lados iguais a 3/4. Logo, o perímetro será: 3/4 + 3/4 + 3/4 = 9/4.
O terceiro triângulo terá lados iguais a 9/4.3/4 = 27/16. Logo, o perímetro será: 27/16 + 27/16 + 27/16 = 81/16.
E assim por diante.
A sequência (3, 9/4, 27/16, ...) é uma progressão geométrica de razão 3/4.
Para calcularmos a soma dos perímetros, utilizaremos a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica infinita.
Essa fórmula é igual a , sendo a1 o primeiro termo e q a razão.
Portanto, a soma dos perímetros é igual a:
S = 3/(1 - 3/4)
S = 3/(1/4)
S = 3.4
S = 12.
A soma dos perímetros de todos os triângulos é 12, alternativa A.
Progressão geométrica
Uma progressão geométrica é caracterizada por uma sequência de valores crescentes, decrescentes ou alternados, onde a razão entre um valor e seu antecessor é sempre constante. O termo geral da P.G. é dado por aₙ = a₁·qⁿ⁻¹, sendo q a razão calculada por q = aₙ₊₁/aₙ.
Sabemos que a medida do lado do primeiro triângulo mede 1, logo, seu perímetro mede 3 (primeiro termo) e cada triângulo seguinte tem 3/4 da medida do lado do triângulo anterior.
Os primeiros termos da PG que representam o perímetro dos triângulos são: (3, 9/4, 27/16, ...). Essa PG possui razão igual a 4/3, logo, a soma dos termos infinitos da PG será:
S = a₁/(1 - q)
S = 3/(1 - 3/4)
S = 3/(1/4)
S = 12
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