Question

6 Uma certa linha do Triângulo de Pascal tem 41 elementos.
Quantos desses elementos são maiores do que 1000 ?
Explique me

Answer 1

Cada linha do Triângulo de Pascal contém um termo a mais que a potência da expansão.

Portanto, se há 41 termos nessa linha, a expansão é do 40° grau.

para k = 0

(40! / 0! 40!) = 1

para k = 1

(40! / 1! 39!) = 40

para k = 2

(40! / 2! 38!) = 780

para k = 3

(40! / 3! 37!) = 9880

É sabido que há um “espelhamento” nos resultados da sequência dos coeficientes binomiais, isto é, resultados idênticos partem do início e do final se encontrando no meio da sequência.

Se na parte inicial da expansão só há 3 termos menores que 1000, (1, 40 e 780), no final também constarão esses mesmos 3 termos porém em ordem oposta (780, 40 e 1).

1 - 40 - 780 - 9880 - ... - 9880 - 780 - 40 - 1

Portanto, conclui-se que entre os 41 termos apenas 6 termos serão menores que 1000.

Isto é, entre os 41 termos dessa linha do triângulo de Pascal, 35 termos serão maiores que 1000.