Question

(SLM - SP)O raio de um círculo inscrito, em um triângulo retângulo de semiperímetro p e hipotenusa a, é

A) p + a/4.
B) p + a/2.
C) p - a/4.
D) p - 2a.
E) p - a.

Answer 1

A resolução desse exercício pauta-se no conhecimento de que segmentos de reta originados a partir de um mesmo ponto e que tangenciam uma circunferência têm a mesma medida.

Como o exercício fala em um triângulo, podemos concluir que haverá 3 pares de segmentos congruentes, sendo que um desses pares apresenta segmentos com medida igual ao raio da circunferência inscrita.

Considerando a hipotenusa como a, e denominando os catetos do triângulo retângulo por b e c, podemos atribuir incógnitas aos segmentos que os constituem:

a = x + y

b = y + R

c = x + R

A partir disso é possível equacionar a razão do semiperímetro p:

p = a + b + c / 2

⇒

p = (x + y) + (y + R) + (x + R) / 2

⇒

p = 2x + 2y + 2R / 2

⇒

p = x + y + R

Para encontrar o valor de R basta estabelecer uma relação algébrica com a equação construída para a hipotenusa a:

a = x + y

p = x + y + R

⇒

p = a + R

⇒

R = p - a

Resposta E)

Answer 2

Resposta:

Podemos usar a fórmula para calcular o raio de uma circunferência inscrita no triângulo retângulo:

$r = \frac{b + c - a}{2} \: (i)$

Onde a é a hipotenusa e b e c os dois catetos.

O semiperímetro de um triângulo é a soma de todos os lados do triângulo dividido por 2. Disso podemos tirar que:

$p=\frac{a + b + c}{2}$

$⇒ a + b + c = 2p$

$⇔b + c = 2p - a \: (ii)$

Substituindo o valor encontrado na primeira equação, temos:

$r = \frac{b + c - a}{2}$

$r = \frac{2p - a - a}{2}$

$r = \frac{2p - 2a}{2}$

Colocando 2 em evidência, temos:

$r = \frac{2(p - a)}{2}$

$r = p - a$

Letra E.