Um cubo de lado 11 foi construído com 11×11×11=1331 cubinhos unitários coloridos.
Nesse cubo, dizemos que dois cubinhos unitários são vizinhos se eles possuem uma face em comum.

Após a construção desse cubo, os cubinhos unitários começaram a mudam de cor com o passar dos dias.
No dia 1, apenas o cubinho central é cinza e todos os demais são coloridos.
No dia 2, o cubinho central cinza transfere a sua cor para todos os outros seis cubinhos vizinhos a ele. Assim, no dia 2, existem exatamente 7 cubinhos cinza e todos os demais são coloridos.
No dia 3, todos os cubos vizinhos a um de cor cinza passam a ter cor cinza. No dia 3 existem 25 cubinhos cinza e os demais são coloridos.
A figura a seguir mostra os cubinhos que mudaram de cor até o dia 2 e até o dia 3.

Continuando esse processo faça os dois cálculos a seguir.
Determine a quantidade total de cubinhos cinza no dia 4.
Determine a quantidade total de cubinhos cinza no dia 5.
Respostas
No quarto dia a quantidade de cubinhos cinzas será 63 quadradinhos
No quinto dia a quantidade de cubinhos cinzas será 129 quadradinhos
Podemos fazer uso de simetria e calcular apenas para a metade superior.
Como a metade superior deve ser igual a metade inferior, o resultado será a soma das duas metades.
Para o quarto dia, observe o quadradinho roxo no topo da figura do terceiro dia.
Ao passar a sua cor cinza para seus vizinhos externos, ele passará para 1 quadradinho acima dele e para 4 quadradinhos do seu lado.
Abaixo do quadradinho roxo, temos 4 quadradinhos ( vou chamá-los de q2) onde cada um deles pode passar a cor para 4 outros quadradinhos. mas o quadradinho acima de cada q2 já é cinza por causa do roxo.
então cada q2 pode pintar 3 quadradinhos, Os da "frente" e os do lado.
porém dois quadradinhos q2 compartilham um mesmo vizinho a ser pintado.
no fim concluimos que cada q2 pode pintar apenas 2 quadradinhos.
E o total pintado será 8 quadradinhos.
Vamos chamar de q3 os quadradinhos abaixo de q2 e que estão nas pontas (ou seja, com 5 lados livres).
O mesmo raciocínio nos permite concluir que cada q3 pode pintar 3 quadradinhos sendo 1 para frente e 2 pros lados. Assim teremos um total de 12 quadradinhos pintados por q3.
Por causa da simetria teremos que q4 pintará 8 quadradinhos e q5 pintará 5 quadradinhos
assim o total de novos quadradinhos será 5+8+12+8+5=38 novos quadradinhos. E o total no dia 4 será 38+25=63 quadradinhos
No quinto dia teremos um raciocínio parecido onde teremos de q1' até q7' com q1' pintando 5 quadradinhos, q2' pintando 8 e q3' pintando 12.
q4' pintará 12 quadradinhos + 4 quadradinhos.
Assim no dia 5 teremos pintados 5+8+12+16+12+8+5=66 quadradinhos
E o total será 66+63=129 quadradinhos
Explicação passo-a-passo:
No quarto dia a quantidade de cubinhos cinzas será 63 quadradinhos
No quinto dia a quantidade de cubinhos cinzas será 129 quadradinhos
Podemos fazer uso de simetria e calcular apenas para a metade superior.
Como a metade superior deve ser igual a metade inferior, o resultado
era a soma das duas metades.
Para o quarto dia, observe o quadradinho roxo no topo da figura do terceiro dia.
Ao passar a sua cor cinza para seus vizinhos externos, ele passará para 1 quadradinho acima dele e para 4 quadradinhos do seu lado.
Abaixo do quadradinho roxo, temos 4 quadradinhos ( vou chamá-los de q2) onde cada um deles pode passar a cor para 4 outros quadradinhos. mas o quadradinho acima de cada q2 já é cinza por causa do roxo.
então cada q2 pode pintar 3 quadradinhos, Os da "frente" e os do lado.
porém dois quadradinhos q2 compartilham um mesmo vizinho a ser pintado.
no fim concluimos que cada q2 pode pintar apenas 2 quadradinhos.
E o total pintado será 8 quadradinhos.
Vamos chamar de q3 os quadradinhos abaixo de q2 e que estão nas pontas (ou seja, com 5 lados livres).
O mesmo raciocínio nos permite concluir que cada q3 pode pintar 3 quadradinhos sendo 1 para frente e 2 pros lados. Assim teremos um total de 12 quadradinhos pintados por q3.
Por causa da simetria teremos que q4 pintará 8 quadradinhos e q5 pintará 5 quadradinhos
assim o total de novos quadradinhos será 5+8+12+8+5=38 novos quadradinhos. E o total no dia 4 será 38+25=63 quadradinhos
No quinto dia teremos um raciocínio parecido onde teremos de q1' até q7' com q1' pintando 5 quadradinhos, q2' pintando 8 e q3' pintando 12.
q4' pintará 12 quadradinhos + 4 quadradinhos.
Assim no dia 5 teremos pintados 5+8+12+16+12+8+5=66 quadradinhos
E o total será 66+63=129 quadradinhos