Question

Uma corda dista 15 m do centro da circunferência. qual é o seu comprimento, se o arco correspondente à corda mede 30º?

a) 20 - 10$\sqrt{3}$
b) 30 - 60$\sqrt{3}$
c) 60 - 20$\sqrt{3}$
d) 60 - 30$\sqrt{3}$

O gabarito é a letra D. Achei algumas soluções pela internet mas não consegui entender a lógica dos cálculos. Se alguém puder resolver me explicando vai ser ótimo!

Answer 1

Resposta:

D) x= 60 - 30.raiz(3) m

Explicação passo-a-passo:

Temos que a corda, junto com o raio "r" da circunferência, formará um triângulo isósceles, cujas dimensões dadas mais a determinar são:

• A base do triângulo, a qual queremos calcular (comprimento da corda= "x")
• A altura "h" do triângulo isósceles= 15m
• Os lados iguais do triângulo= "r" (raio da circunferência)
• O ângulo do vértice do triângulo, formado pelos 2 lados iguais a "r", igual a 30 graus.

Esse triângulo isósceles é composto por 2 triângulos retângulos idênticos, onde a hipotenusa vale "r", um cateto vale h=15 m, e outro cateto = x/2 (metade da corda).

Oposto ao cateto x/2 temos o ângulo de 15 graus (metade de 30 graus), e adjacente ao ângulo de 15 graus o cateto h= 15 m.

Logo, temos pela trigonometria que:

cateto oposto/cateto adjacente = tg(15 graus)

(x/2)/15 = tg(15)

x/30= tg(15)

x= 30.tg(30/2)

Como tg(a/2)= raiz(1-cos(a))/raiz(1+cos(a)), temos então que:

x= 30.raiz(1 - cos(30))/raiz(1 + cos(30))

x= 30 . raiz(1 - raiz(3)/2))/raiz(1 + raiz(3)/2))

x= 30 . raiz((2 - raiz(3))/2))/raiz((2 + raiz(3))/2))

x= 30 . {raiz(2 - raiz(3))/raiz(2)} / {raiz(2 + raiz(3))/raiz(2)}

x= 30 . raiz(2 - raiz(3))/raiz(2 + raiz(3))

x= 30 . raiz(2 - raiz(3))/raiz(2 + raiz(3)) . raiz(2 + raiz(3))/raiz(2 + raiz(3))

x= 30 . raiz(2 - raiz(3)) . raiz(2 + raiz(3)) / raiz(2 + raiz(3)) . raiz(2 + raiz(3))

x= 30 . raiz((2 - raiz(3)).(2 + raiz(3))) / [raiz(2 + raiz(3))]^2

x= 30 . raiz((2)^2 - (raiz(3))^2) / [raiz(2 + raiz(3))]^2

x= 30 . raiz(4 - 3) / (2 + raiz(3))

x= 30. 1 / (2 + raiz(3))

x= 30/(2 + raiz(3))

x= 30/(2 + raiz(3)) . (2 - raiz(3))/(2 - raiz(3))

x= 30.(2 - raiz(3)) / (2 + raiz(3))/(2 - raiz(3))

x= (60 - 30.raiz(3)) / [2^2 - (raiz(3))^2]

x= (60 - 30.raiz(3)) / [4 - 3]

x= 60 - 30.raiz(3)

ou

x= 30.(20 - raiz(3)) m

Blz?

Abs :)