Question

A aceleração de um foguete subindo ao espaço é dado por a = (6 + 0,02s) m/s², em que s é dado em metros. Determine a velocidade do foguete quando s = 2 km. Inicialmente, v = 0 e s = 0 quando t = 0.




a.

V = 161 m/s;


b.

V = 322,5 m/s;


c.

V = 248 m/s;


d.

V = 72 m/s ;


e.

V = 228 m/s;

Answer 1

Utilizando metodos de equações diferencias separaveis, temos que esta velocidade é de 322,5 m/s.

Explicação:

Sabemos que aceleração éa derivada da velocidade em relação ao tempo:

$a=\frac{dv}{dt}$

Mas podemos usar regra da cadeia para escrever a velocidade como derivada do espaço s:

$a=\frac{dv}{dt}$

$a=\frac{dv}{ds}.\frac{ds}{dt}$

Mas a derivada do espaço em relação ao tempo é a própria velocidade:

$a=\frac{dv}{ds}.\frac{ds}{dt}$

$a=\frac{dv}{ds}.v$

Substituindo a aceleração pela função dada:

$a=\frac{dv}{ds}.v$

$6+0,02s=\frac{dv}{ds}.v$

Utilizando metodos de separação de variaveis:

$6+0,02s=\frac{dv}{ds}.v$

$(6+0,02s).ds=v.dv$

Integrando os dois lados em suas respectivas variaveis temos:

$(6+0,02s).ds=v.dv$

$6s+0,01s^2+S_0=\frac{v^2}{2}+v_0$

Mas sabemos que S0 e V0 são iguais a 0 em t=0, então:

$6s+0,01s^2+S_0=\frac{v^2}{2}+v_0$

$6s+0,01s^2=\frac{v^2}{2}$

Agora temos a função velocidade em função do espaço, assim podemos substituir s por 2000 m (2km):

$6s+0,01s^2=\frac{v^2}{2}$

$6.2000+0,01(2000)^2=\frac{v^2}{2}$

$12000+0,01.4.10^{-6}=\frac{v^2}{2}$

$12000+40000=\frac{v^2}{2}$

$52000=\frac{v^2}{2}$

$104000=v^2$

$v=\sqrt{104000}$

$v=322,5$

Assim esta velocidade é de 322,5 m/s.