Question

Em uma fábrica, o lucro obtido na produção de q lapiseiras pode ser estimado pela função L(q) = ln(100+q) + C; com L(q) em milhares de reais.
a) Qual é o valor da constante C (registrada com seis casas decimais)? Por quê?
b) Estime o valor do lucro, em reais, na comercialização de 750 lapiseiras
c) Quantas lapiseiras, aproximadamente, devem ser comercializadas para que o lucro obtido seja de R$4.300,00?

Answer 1

Dada a função lucro, sabemos que se não há produção, não há lucro, então quando q = 0, L(q) = 0, sabendo disso, podemos calcular o valor da constante C:

0 = ln(100) + C

C = -4,605170

b) Com 750 lapiseiras, basta substituir q por este valor e calcular:

L(750) = ln(100+750) - 4,605170

L(750) = 2,14 mil reais

c) Para que o lucro seja de R$4.300,00, deve-se vender aproximadamente:

4,3 = ln(100+q) - 4,605170

Podemos escrever a constante C como -ln(100), logo:

4,3 = ln(100 + q) - ln(100)

Da subtração de logaritmos, podemos transformar no logaritmo da divisão:

4,3 = ln((100 + q)/100)

Se aplicarmos a base e em ambos os lados, poderemos isolar q:

e^4,3 = e^ln(1 + q/100)

Da propriedade de logaritmos, temos que e^ln x = x, logo:

73,7 = 1 + q/100

72,7 = q/100

q = 7270 lapiseiras