Question

Uma colônia de bactérias duplica a cada 1 hora. Sabendo que a população inicial é de 1000 bactérias, em quanto tempo a população chegara a 1 bilhão de bacterias?

Answer 1

Tentemos descobrir qual a expressao que nos permite calcular o nº de bactérias em função do tempo.

t = 0h ⇔ 1000 bactérias

t = 1h ⇔ 2000 bactérias (o dobro da anterior)

t = 2h ⇔ 4000 bactérias (o dobro da anterior)

t = 3h ⇔ 8000 bactérias (o dobro da anterior)

t = 4h ⇔ 16000 bactérias (o dobro da anterior)

Observando os dados acima, podemos dizer que temos uma potencia de 2 envolvida, multiplicada por 1000, pois

t = 2h = 2² × 1000 = 4 × 1000 = 4000

t = 3h = 2³ × 1000 = 8 × 1000 = 8000

t = 4h = 2⁴ × 1000 = 16 × 1000 = 16000

Logo podemos dizer que a expressao que nos permite calcular o nº de bactérias seria:

$\large{\boldsymbol{B(t)=2^{t}\cdot 1000}}$

onde B é o nº de bacterias e t o tempo em horas

A pergunta do enunciado é: Qual o valor de t quando B(t) = 1.000.000.000

$\large{\boldsymbol{B(t)=2^{t}\cdot 1000}}$

$\large{\boldsymbol{1000000000=2^{t}\cdot 1000}}$

fatorando 1000000000 obtermos = 2⁹ . 5⁹

(atentar que 1000 = 2³ . 5³)

$\large{\boldsymbol{2^9\cdot 5^{9}=2^{t}\cdot 1000}}$

$\large{\boldsymbol{2^9\cdot 5^{9}=2^{t}\cdot 2^3\cdot 5^3}}$

$\large{\boldsymbol{\frac{2^9\cdot 5^{9}}{2^3\cdot 5^3}=2^{t}}}$

$\large{\boldsymbol{{2^6\cdot 5^6}=2^{t}}}$

No way...... temos que aplicar logaritmo em ambos lados.....

$\large{\boldsymbol{{\log(2^6\cdot 5^6)}=\log 2^{t}}}$

da potenciacao sabemos que (A⁴.B⁴) = (A .B)⁴

$\large{\boldsymbol{{\log(2\cdot 5)^6}=\log 2^{t}}}$

$\large{\boldsymbol{{\log(10)^6}=\log 2^{t}}}$

$\large{\boldsymbol{{6\log(10)}=t\log 2}}$

log 10 = 1

$\large{\boldsymbol{{6}=t\log 2}}$

$\large{\boldsymbol{\frac{6}{\log 2}=t}}$

como log 2 ≈ 0,3

t ≈ 6/0,3

t ≈ 20

(para ser exato mais exato, t ≈ 19,93h)