Question

Determinar o valor de x na sentença 4x+16x+ ...+4096x=10920 sabendo que os termos do primeiro membro formam uma PG.

Answer 1

E aí meu velho,

dos dados da progressão geométrica temos que..

$\begin{cases}a_1=4x\\ q= \dfrac{a_2}{a_1}~\to~q= \dfrac{16x}{4x}~\to~q=4 \\ a_n=4.096x\\ S_n=10.920\end{cases}$

..então fazemos..

$\boxed{a_n=a_1\cdot q^{n-1}}\\\\ 4.096x=4x\cdot 4^{n-1}\\ 4.096\not x=4\not x\cdot4^n\cdot4^{-1}\\\\ 4^n\cdot4^{-1}= \dfrac{4.096}{4}\\\\ 4^n\cdot4^{-1}=1.024\\ 4^n\cdot4^{-1}=4^5\\\\ 4^n= \dfrac{4^5}{4^{-1}}\\\\ 4^n=4^5\cdot4^1\\ \not4^n=\not4^6\\\\ n=6$

Se n vale 6 (esta P.G. possui 6 termos), podemos usar a fórmula da soma dos n primeiros termos..

$\boxed{S_n= \dfrac{a_1(q^n-1)}{q-1}}\\\\\\ 10.920= \dfrac{4x\cdot(4^6-1)}{4-1}\\\\ \dfrac{4x\cdot(4.096-1)}{3}=10.920\\\\ 4x\cdot4.095=10.920\cdot3\\ 16.380x=32.760\\\\ x= \dfrac{32.760}{16.380}\\\\\\ \huge\boxed{\boxed{x=2}}$

Tenha ótimos estudos ;D