Question

GENTE ALGUÉM ME AJUDE COM ESSA QUESTÃO POR FAVOR!! A FÓRMULA PARA SER USADA PRECISA SER ESSA: P: AX+ B 10. Uma lanchonete consegue vender 100 sanduíches, cobrando R$ 2,00 cada. Se ela cobrar
10 centavos a mais por sanduíche, a venda sofre uma redução de 20 sanduíches.
a) Determine a função de demanda desse produto, supondo que ela é do primeiro grau.
b) Qual é o preço a ser cobrado, para obter a máxima receita?​

Answer 1

a)

Se considerarmos P = preço e x = número de sanduíches vendidos:

Quando P = 2, x = 100:

$x = A \cdot P + B$

$100 = A \cdot 2 + B$

$B = 100 - 2 \cdot A$

Se aumentarmos o preço em 10 centavos, isto é: P = 2,1; então o número de sanduíches diminui 20, ou seja: x = 80:

$x = A \cdot P + B$

$80 = A \cdot 2,1 + B$

$B = 80 - 2,1 \cdot A$

Igualando o B da primeira parte com o B da segunda parte:

$100 - 2 \cdot A = 80 - 2,1 \cdot A$

$100 - 80 = (-2,1 + 2) \cdot A$

$20 = -0,1 \cdot A$

$A = -\dfrac{20}{0,1}$

$A = -200$

Agora, substituindo A, podemos encontrar B:

$B = 100 - 2 \cdot (-200)$

$B = 100 + 400$

$B = 500$

$x = -200 \cdot P + 500$

Calculando a função inversa (isolando P):

$-200 \cdot P = x - 500$

$P = -\dfrac{x}{200} + \dfrac{500}{200}$

$\boxed{P = -0,005 \cdot x + 2,5}$

Essa é a função do preço em relação à demanda.

b) A receita é dada pelo produto entre o número de sanduíches vendidos (x) e o preço unitário (P) de cada sanduíche:

$R = x \cdot P$

Substituindo x pela função que acabamos de obter:

$R = (-200 \cdot P + 500) \cdot P$

Assim:

$R = -200 \cdot P^2 + 500 \cdot P$

Essa função representa uma parábola (equação do 2° grau), com ponto de máximo (coeficiente a é negativo). Ou seja, a receita máxima será obtida quando a função estiver em seu vértice. Como o preço é o eixo x e a receita o eixo y, basta que encontremos a coordenada x do vértice. Esta é dada por:

$x_v = - \dfrac{b}{2 \cdot a}$

Substituindo b = 500 e a = -200:

$P_v = - \dfrac{500}{2 \cdot (-200)}$

$P_v = \dfrac{500}{400}$

$P_v = \dfrac{5}{4}$

$\boxed{P_v = \text{R\ }1,25}$