Question

em
que
base o
logaritimo de 2√2 é igual a 3​

Answer 1

Temos;

$log_{x}(2 \sqrt{2} ) = 3 \\ 2 \sqrt{2} = {x}^{3} \\ x = \sqrt[3]{2 \sqrt{2} } \\ x = \sqrt[3]{ \sqrt{4} } = \\ \boxed{x = \sqrt[6]{4} }$

Answer 2

$\log_{x}[2 \cdot \sqrt{2}] = 3$

Utilizando a seguinte propriedade:

$a^{\log_a[b]} = b$

Farei exponencial de base x dos dois lados para cortar o logaritmo:

$x^{\log_{x}[2 \cdot \sqrt{2}]} = x^3$

Com isso:

$2 \cdot \sqrt{2} = x^3$

Mas: $2 = \sqrt{4}$. Fazendo essa substituição:

$\sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = x^3$

Utilizando a propriedade:

$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$

Ficamos com:

$\sqrt{4\cdot 2} = x^3$

$\sqrt{8} = x^3$

Mas: $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$

Assim:

$\sqrt{2^3} = x^3$

Aplicando raiz cúbica dos dois lados, para cortar o expoente de x:

$\sqrt[3]{\sqrt{2^3}} = \sqrt[3]{x^3}$

Invertendo as raizes:

$\sqrt{\sqrt[3]{2^3}} = x$

$\boxed{x= \sqrt{2}}$

Ou seja, na base raiz quadrada de 2