Question

Dados dois pontos no plano cartesiano, podemos definir dois vetores que tenham a origem e a extremidade nesses
pontos. Considerando os pontos A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2), podemos definir os vetores AB, com origem em A e extremidade em B, e BA, com origem em B e extremidade em A.
As coordenadas de um vetor são importantes informações quando se quer resolver problemas relativos a suas
dimensões, norma, entre outros parâmetros.

Sejam A (1, 2, 3), B (3, 2,1) e C (-2, -4, -2) pontos de R³ e X e Y são outros dois pontos e sobre eles afirma-se:
I) Sendo AB = BX, então X é (5,2,3).
II) Sendo AC = BX, então X é (0,-4,-4).
III) Sendo BC = YA, então Y é (6,8,6).
IV) Sendo CA = BY, então Y é (0,4,4).

Das afirmações acima, estão corretas:
A) I e III, apenas.
B) I e IV, apenas.
C) II e IV, apenas.
D) II e III, apenas.
E) I, II, III e IV

Answer 1

A definição da alternativa correta em relação aos pontos no plano cartesiano é feita a seguir.

Explicação passo-a-passo:

I) Sendo AB = BX, então X é (5,2,3).  --> Falsa

De A para B temos

$\left\{\begin{array}{l}\Delta x=Bx-Ax=3-1=2\\\Delta y=By-Ay=2-2=0\\\Delta z=Bz-Az=1-3=-2\end{array}\right.$

Logo, as coordenadas de X deveriam ser

$\left\{\begin{array}{l}X_x=Bx+\Delta x=3+2=5\\X_y=By+\Delta y=2+0=2\\X_z=Bz+\Delta z=1-2=-1\end{array}\right.$

II) Sendo AC = BX, então X é (0,-4,-4).  --> Verdadeira

De A para C temos

$\left\{\begin{array}{l}\Delta x=Cx-Ax=-2-1=-3\\\Delta y=Cy-Ay=-4-2=-6\\\Delta z=Cz-Az=-2-3=-5\end{array}\right.$

Logo, as coordenadas de X deveriam ser

$\left\{\begin{array}{l}X_x=Bx+\Delta x=3-3=0\\X_y=By+\Delta y=2-6=-4\\X_z=Bz+\Delta z=1-5=-4\end{array}\right.$

III) Sendo BC = YA, então Y é (6,8,6). --> Verdadeira

De B para C temos

$\left\{\begin{array}{l}\Delta x=Cx-Bx=-2-3=-5\\\Delta y=Cy-By=-4-2=-6\\\Delta z=Cz-Bz=-2-1=-3\end{array}\right.$

Logo, as coordenadas de Y deveriam ser

$\left\{\begin{array}{l}Y_x=Ax-\Delta x=1+5=6\\Y_y=Ay-\Delta y=2+6=8\\Y_z=Az-\Delta z=3+3=6\end{array}\right.$

IV) Sendo CA = BY, então Y é (0,4,4).  --> Falsa

De C para A temos

$\left\{\begin{array}{l}\Delta x=Ax-Cx=1+2=3\\\Delta y=Ay-Cy=2+4=6\\\Delta z=Az-Cz=3+2=5\end{array}\right.$

Logo, as coordenadas de Y deveriam ser

$\left\{\begin{array}{l}Y_x=Bx+\Delta x=3+3=6\\Y_y=By+\Delta y=2+6=8\\Y_z=Bz+\Delta z=1+5=6\end{array}\right.$

Portanto, a alternativa correta é a letra D.