Question

Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região compreendida por y = 2x − 1, y = 0 e x = 4 ao redor do eixo y.

Answer 1

O volume para esta figura pode ser encontrado pelo metodo dos cilindros

O volume do sólido de revolução pelo metodo dos cilindros é determinado ao se realizar a integral $V=2\pi\int_a^bx|f(x)-g(x)|dx$

Você aprenderá quando estudar integrais multiplas que o que está acontecendo aqui é uma integral dupla em coordenadas polares e este volume equivale a  $V=\int_0^{2\pi}\int_a^bx|f(x)-g(x)|dxd\theta$ e como as coordenadas em x e em $\theta$ são independentes, podemos integrar a parte do angulo em separado obtendo que $\int_0^{2\pi}d\theta=2\pi$,

O primeiro passo é encontrar as interseções das figuras para que possamos determinar os intervalos de integração.

as curvas são

y=2x-1

y=0

x=4

sabemos que teremos de integrar 2x-1 de um ponto "a" até o ponto x=4.

quando y=0, temos que $2x-1=0\rightarrow x=1/2$

portanto a nossa integral  que dá o volume será

$V=2\pi\int_{1/2}^4x|2x-1|dx$

e como a função é sempre positiva no intervalo que haveremos de calcular:

$V=2\pi\int_{1/2}^4 x(2x-1)dx$

$V=2\pi(x^2-x)|^4_{1/2}=2\pi(12-(-1/4))=2\pi12,25=24,5\pi$