Question

Encontre a equação da reta tangente e da reta normal á curva y=x^2 +e^3x,no ponto P(0,1)

Answer 1

equação de uma reta
$\boxed{y=m*(x-x_0)+y_0}$

m = coeficiente angular
(x0,y0) é um ponto conhecido por onde a reta passa 

equação da reta tangente a curva no ponto x0
$\boxed{y=f'(x_0)*(x-x_0)+y_0}$

a unica coisa que é que na equação da reta tangente o coeficiente angular é dado por f'(x0) ...(derivada da curva calculada no ponto onde vc quer a tangencia)

$\boxed{f(x)=x^2+e^{3x}}$

como P(0,1) então:
x0 = 0
y0 = 1

derivando a função 
lembrando que a derivada de
 $\boxed{(e^u)' = e^u *u'}$

$f'(x)=2x^{2-1}+e^{3x}*(3*1*x^{1-1}\\\\\boxed{f'(x)=2x+3e^{3x}}$

calculando o coeficiente angular
$m=f'(x_0)=f'(0)= 2*0+3*e^{3*0}= 0+3*1 = 3$

a equação da reta tangente 
$y=3*(x-0)+1\\\\\boxed{y=3x+1}$

a equação da reta normal é perpendicular a reta tangente
então o coeficiente angular da reta normal é oposto e inverso ao coeficiente angular da reta tangente

$m_{n}=- \frac{1}{f'(x_0)} = \frac{-1}{3}$

equação da reta normal
$y= \frac{-1}{3}*x +1\\\\y = \frac{-x+3}{3}$