Question

Obtenha os valores de m para que a reta bissetriz dos quadrantes pares seja secante á circunferência de equação: x^{2} + y^{2} - 6x- 8y+m

Answer 1

Resposta:

m < 1/2

Explicação passo-a-passo:

Seja a equação da circunferência:

x^2 +y^2 -6x -8y +m = 0

Vamos calcular o centro e o raio dessa circunferência:

x^2 +y^2 -2.3.x -2.4.y = -m

x^2 -2.x.3 + 3^2 + y^2 -2.y.4 + 4^2 = -m +3^2 +4^2

(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = r^2

Logo, o centro da circunferência é o ponto dado pelas coordenadas (3,4), e r é o raio da circunferência, tal que r^2 = -m +3^2 +4^2

A reta bissetriz dos quadrantes pares (II e IV) é dado por y = -x. Logo, para essa reta ser secante à circunferência em questão, a distância perpendicular dessa reta ao centro da circunferência (ponto (3,4)) deve ser < r.

A distancia perpendicular de uma reta a um ponto é dado por:

Eq reta: y = -x => a.x + b.y + 0 = 0 (a=1, b=1, c=0)

Ponto: x1=3, y1=4

Logo:

Dpr = | a.x1 + b.y1 +c | / raiz (a^2 + b^2)

Dpr = | 1.3 + 1.4 +0 | / raiz (1^2 + 1^2)

Dpr = | 3 + 4 | / raiz (1 + 1)

Dpr = 7/raiz (2). raiz(2)/raiz(2)

Dpr = 7.raiz (2)/2

Portanto, conforme indicado acima, para a reta ser secante a circunferência, temos que:

Dpr < r

r > Dpr

r > 7.raiz (2)/2

r^2 > (7.raiz (2)/2)^2

r^2 > 49.2/4

r^2 > 49/2

Como r^2 = -m +3^2 +4^2 = -m +9 +16, então:

-m +9 +16 > 49/2

-m > 49/2 - 9 - 16

-m > (49 -18 -32)/2

-m > (49 -50)/2

-m > - 1/2 (vezes -1)

m < 1/2

Blz?

Abs :)