Question

Numa PA decrescente de 10 termos, a soma dos 3

primeiros é igual a 21 e o produto, 231. Qual é o valor do

último termo?

A) 37 C) 1 E) 47

B) 25 D) 25​

Answer 1

O valor do último termo é igual a -25.

O termo geral de uma progressão aritmética é definido por aₙ = a₁ + (n - 1).r.

Sendo assim, os 10 termos da progressão aritmética são iguais a (a₁, a₁ + r, a₁ + 2r, ..., a₁ + 9r).

De acordo com o enunciado, a soma dos três primeiros termos é igual a 21, ou seja:

a₁ + a₁ + r + a₁ + 2r = 21

3a₁ + 3r = 21

a₁ + r = 7.

Além disso, temos que o produto dos três primeiros termos é igual a 231, ou seja:

a₁.(a₁ + r).(a₁ + 2r) = 231

a₁.7.(a₁ + 2r) = 231

a₁² + 2a₁.r - 33 = 0.

Da equação a₁ + r = 7, podemos dizer que r = 7 - a₁. Assim:

a₁² + 2a₁(7 - a₁) - 33 = 0

a₁² + 14a₁ - 2a₁² - 33 = 0

-a₁² + 14a₁ - 33 = 0.

Resolvendo essa equação do segundo grau, obtemos dois valores para a₁: 3 e 11.

Se a₁ = 3, então r = 4;

Se a₁ = 11, então r = -4.

Como a progressão aritmética é decrescente, então a₁ = 11 e r = -4.

Portanto, o último termo é igual a:

a₁₀ = 11 + (10 - 1).(-4)

a₁₀ = 11 + 9.(-4)

a₁₀ = -25.