Question

a) a medida do segmento AB:
b) a medida do segmento OM:
c) a medida do ângulo AOB;
d) a medida do segmento AM.​

Answer 1

No caso de circunferência inscrita, o raio do círculo é igual a 2/3 da altura h do triângulo:

$\dfrac{2}{3}\cdot h = r$

O raio mede 10 cm:

$h = \dfrac{3}{2} \cdot 10$

d) $h = \overline{AM} = 15\text{ cm}$

b) Isto significa que o segmento $\overline{OM}$ mede 5 cm.

Com isso fechamos o triângulo $\triangle OMB$ cuja hipotenusa, $\overline{OB}$ é igual ao raio do círculo, 10 cm. Assim, pelo Teorema de Pitágoras calculamos $\overline{MB}$:

$\overline{OB}^2 = \overline{MB}^2 + \overline{OM}^2$

$10^2 = \overline{MB}^2 + 5^2$

$\overline{MB}^2 = 100 - 25$

$\overline{MB}^2 = 75$

$\overline{MB} = \sqrt{75}$

$\overline{MB} = \sqrt{3 \cdot 25} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{25}$

$\overline{MB} = 5 \cdot \sqrt{3}$

Isto significa que, por simetria, o lado $\overline{MC}$ é igual ao segmento $\overline{MB}$ e:

$\overline{BC} = 10 \cdot \sqrt{3}$

Agora que sabemos quanto medem dois catetos do triângulo $\triangle AMB$, podemos encontrar a hipotenusa através do Teorema de Pitágoras:

$\overline{AB}^2 = \overline{MB}^2 + \overline{AM}^2$

$\overline{AB}^2 = (5 \cdot \sqrt{3})^2 + 15^2$

$\overline{AB}^2 = 5^2 \cdot \sqrt{3}^2 + 225$

$\overline{AB}^2 = 25 \cdot 3 + 225$

$\overline{AB}^2 = 75 + 225$

$\overline{AB}^2 = 300$

$\overline{AB} = \sqrt{300}$

$\overline{AB} = \sqrt{3\cdot 100} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{100}$

a) $\overline{AB} = 10 \cdot \sqrt{3} \text{ cm}$

Descobrimos que o triângulo é equilátero. Agora, para calcular o ângulo $A\hat{O}B$, podemos usar a lei dos Cossenos:

$\overline{AB}^2 = \overline{AO}^2 + \overline{OB}^2 - 2 \cdot \overline{AO} \cdot \overline{OB} \cdot \cos(\theta)$

$(10 \cdot \sqrt{3})^2 = 10^2 + 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos(\theta)$

$10^2 \cdot \sqrt{3}^2 = 200 - 200 \cdot \cos(\theta)$

$100 \cdot 3 = 200 \cdot (1- \cos(\theta))$

$\dfrac{300}{200} =1- \cos(\theta)$

$\dfrac{3}{2}- \dfrac{2}{2} =- \cos(\theta)$

$-\dfrac{1}{2}=\cos(\theta)$

c) O arco que resulta em um cosseno de -1/2 é 120°.