Question

João inventou a seguinte brincadeira em que a cada passo ele escreve um número em uma folha de papel. Para começar ele escreve o número 60 na folha e a partir daí ele fica repetindo alternadamente os seguintes passos:


Ele joga um dado normal sobre uma mesa e observa o número da sua face superior.


Se o último número escrito na folha é divisível pelo número obtido no dado, ele escreve o resultado da divisão do último número escrito na folha pelo número obtido no dado. Caso contrário, ele escreve o resultado da multiplicação desses dois números.




Por exemplo, se os resultados dos cinco primeiros lançamentos do dado foram 5, 6, 3, 2 e 6respectivamente, então os primeiros números escritos na folha foram 60, 12, 2, 6, 3 e 18, como está indicado na tabela a seguir.



563266060÷5=1212÷6=22×3=66÷2=33×6=18



Responda as três perguntas a seguir.


Suponhamos que nos primeiros quatro lançamentos do dado tivessem saído os números 6, 3, 4 e 5 nesta ordem. Nesse caso, quais seriam os números escritos por João?


Você acha que, de acordo com a brincadeira, em algum momento João pode escrever na folha de papel o número 28? Se sim, mostre como. Se não, explique por que. 


A partir do momento inicial, em que somente o número 60 está escrito na folha e repetindo a brincadeira várias vezes, explique como João pode obter números muito muito grandes, por exemplo, números maiores que mil, dez mil, um milhão, etc.


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Answer 1

Os números escritos por João serão 10, 30, 120 e 24.

Começando com o número 60, temos que:

6 é divisor de 60, logo, o número escrito será 10.

3 não é divisor de 10, logo, o número escrito será 30.

4 não é divisor de 30, logo, o número escrito será 120.

5 é divisor de 120, logo, o número escrito será 24.

Para obter 28, ele deve obter um dos múltiplos de 28 (56, 84, 112, 140 e 168) ou um dos divisores de 28 (1, 2, 4, 7 e 14). Partindo de 60, não é possível obter 28, pois os resultados necessários dependem de 7 (como 14, 84, 140), ou seja, em algum ponto, obteremos um valor que precisará ser multiplicado ou dividido por 7 para chegar em 28 e como o dado não possui a face 7, é impossível obter 28.

Para que João obtenha números grandes, ele deve sortear no dado números que não sejam divisores daqueles que estão na folha e quando o resultado tiver todos os divisores no dado, deve-se evitar as faces que resultarão em um resultado já obtido anteriormente e que tenha todos os divisores novamente.