considere os seguintes conjuntos v1={(0,0,0)}
V2={(x,2x,x)} €R3; x € R}
V3={(x,x+2, x) € R3; x€ R}
V4={(x,x, x2) € R3; x €R}
São subespaços vetoriais de R3 os conjuntos: V1 apenas V3 apenas V1 e V2 apenas VV3 e V4 apenas V1, V2, V3 e V4
Respostas
São subespaços vetoriais de R3 os conjuntos: V1 e V2 apenas.
Para um conjunto ser um subespaço vetorial, devemos analisar três condições:
- O vetor nulo deve pertencer ao conjunto
- Se u e v pertencem ao conjunto, então u + v também pertence
- Se u pertence ao conjunto e α pertence aos reais, então α.u pertence ao conjunto.
V1 = {(0,0,0)}.
O vetor nulo faz parte do conjunto;
A soma dos vetores (0,0,0) + (0,0,0) pertence ao conjunto;
A multiplicação do escalar α pelo vetor (0,0,0) também faz parte.
Logo, V1 é um subespaço vetorial.
V2 = {(x,2x,x)}.
O vetor nulo pertence;
Os vetores (a,2a,a) e (b,2b,b) pertencem ao conjunto. A soma (a,2a,a) + (b,2b,b) = (a + b, 2(a + b), a + b) também pertence.
Multiplicando o vetor (b,2b,b) pelo escalar α, obtemos (αb, 2αb, αb), que também pertence.
Logo, V2 é um subespaço vetorial.
V3 = {(x, x + 2, x)}.
O vetor nulo não faz parte desse conjunto.
Logo, V3 não é subespaço vetorial.
V4 = {(x,x,x²)}.
O vetor nulo pertence ao conjunto.
Os vetores (a,a,a²) e (b,b,b²) pertencem ao conjunto. E a soma (a,a,a²) + (b,b,b²) = (a + b, a + b, a² + b²) não pertence.
Logo, V4 não é subespaço vetorial.