Respostas
Resposta:
(1 - tg x / 1 + tg x )² ⇔ ( 1 - sen (2x) ) / ( 1 + sen (2x) )
Explicação passo-a-passo:
Pedido:
A expressão ( 1 - tg x / 1 + tg x )² é equivalente a ?
Resolução:
1º – Definir domínio da expressão e condições restritivas
Nota 1 : Uma fração só está definida quando o denominador é diferente de zero.
Assim terá que o denominador da expressão original ser
1 + tgx ≠ 0 ⇔ tg x ≠ - 1
Nota 2 : a tangente de um ângulo é igual à divisão do seno desse ângulo pelo cosseno do mesmo ângulo
Então tg x = sen x / cos x o que implica que cos x ≠ 0 ( pelo indicado em Nota 1)
Assim o domínio da expressão serão todos os números Reais exceto quando tg x = - 1 ou quando cos x = 0.
2º – Resolução da expressão, simplificando-a
(1 - tgx / 1 + tgx)²
Em primeiro lugar vou resolver e simplificar a expressão dentro do parêntesis.
Só depois disso é que elevo ao quadrado.
Em ambos os termos da fração vou fazer com que o termo “ 1 “ , que pode ser visto como 1 / 1, se transforme numa fração de denominador cos x ; fica (cos x/ cos x) .
Já posso somar frações porque têm o mesmo denominador.
[( ( cos x / cos x) - (sen x / cos ) ) / ( ( cos x / cos x) + (sen x / cos ) )] ²
⇔
[ ( ( cos x – senx ) / cos x ) / ( ( cos x + senx ) / cos x ) ] ²
Cálculos auxiliares:
tenho a divisão de duas frações: ( cos x – senx ) / cos x ) a dividir por ( cos x + senx ) / cos x )
que se transforma na multiplicação da 1ª fração pelo inverso da 2ª fração
( cos x – senx ) / cos x ) * ( cos x / ( cos x + senx )
⇔
Multiplicamos os numeradores e os denominadores
(( cos x – senx ) * cos x ) / ( cos x * ( cos x + senx ) )
↑ ↑
Estes cossenos cancelam-se
porque são ≠ 0 tal como vimos no inicio, cos x ≠ 0
Continuando a resolução
[( cos x – senx ) / ( cos x + senx ) ] ²
Vou elevar o numerador e o denominador ao quadrado
⇔ ( cos x – senx )² / ( cos x + senx )²
No numerador e no denominador temos um caso notável da multiplicação.
Nota 3 → Em termos gerais ( a + b )² = a² + 2 * a * b + b²
⇔
( cos² x + 2 * cos x * (- sen x) + sen² x ) / ( cos² x + 2 * cos x * sen x + sen² x)
⇔
Usando a propriedade comutativa da adição e da multiplicação:
( sen² x + cos² x - 2 sen x cos x) / ( sen² x + cos² x + 2 senx cos x )
Nota 4 : A Lei fundamental da Trigonometria diz que
sen² x + cos² x = 1
Nota 5 : sen (2x) = 2 sen x cos x
Concluindo:
( sen² x + cos² x - 2 sen x cos x ) / ( sen² x + cos² x + 2 senx cos x )
⇔ ( 1 - sen (2x) ) / ( 1 + sen (2x) )
Sinais : ( * ) multiplicar ( / ) dividir ( ⇔ ) equivalente a ( ≠ ) diferente de
Espero ter ajudado bem.
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Se tiver alguma dúvida me contacte através dos Comentários da pergunta.
Bom estudo e um bom dia para si.