Question

1- Sabe-se que o custo C para produzir x peças de um carro é dado por C = x2 - 40x + 200. Nessas condições, calcule a quantidade de peças a serem produzidas para que o custo seja mínimo. Calcule também qual será o valor deste custo mínimo.

2- Uma bola é lançada ao ar. Suponha que sua altura h, em metros, t segundos após o lançamento, seja h(t) = - t2 + 8t +10. Calcule a altura máxima atingida pela bola e em que instante ela alcança esta altura.

Answer 1

Lembrei dessa questão que veio na minha primeira prova de Calculo diferencial, enfim. Vamos lá!
A primeira coisa a se fazer é igualá a função a zero.
Logo,  
x²-40x+200=0
Vamos encontrar as coordenadas do vértice: 
x²=1 
Quando 1>0, a concavidade da parábola estará virada para cima, isso representa o valor minimo. Agora é calcular
$A= b^{2} -4.a.c$  (Considere a letra A como delta)
$A= (-40)^2-4.1.200$ 
$A= 1600-800$
$A= 800$

Como foi pedido o valor minimo (ou menor possível), pede-se Xv. Portanto, 
$Xv= \frac{-b}{2.a}$ 
$Xv= \frac{-40}{2.1}$ 
$Xv= \frac{-40}{2}$ 
$Xv= 20$  

---------------- 
$Yv= \frac{-A}{4a}$ 
$Yv= \frac{-800}{4.1}$
$Yv= \frac{-800}{4}$
$Yv= -200$
Esta parábola tem como os vértices, V=(20,-200).
Para que o custo seja minimo, esta empresa deve produzir 20 peças.

Espero ter ajudado!