Question

Se sen(x) = 1/3 determine o valor de y = sec(x) - cos(x) / tg(x) + ctg(x). ​

Answer 1

Resposta:

y = 1/27

Explicação passo-a-passo:

Considerando que x é um arco do 1° quadrante, temos:

sen² x + cos² x = 1

(⅓)² + cos² x = 1

1/9 + cos² x = 1

cos² x = 1 - 1/9

cos² x = (9 - 1)/9

cos² x = 8/9

cos x = √(8/9)

cos x = (2√2)/3

tg x = sen x / cos x

tg x = ⅓ / (2√2)/3

tg x = ⅓ × 3/(2√2)

tg x = 1/(2√2)

tg x = √2/4

cotg x = 1 / tg x

cotg x = 1 / (√2/4)

cotg x = 4/√2

cotg x = 4√2/2

cotg x = 2√2

sec x = 1 / cos x

sec x = 1 / (2√2)/3

sec x = 3 / (2√2)

sec x = 3√2 / 4

y = (sec x - cos x) / (tg x + cotg x)

y = (3√2 / 4 - (2√2) / 3) / (√2 / 4 + 2√2)

y = (9√2 - 8√2)/12 / (√2 + 8√2)/4

y = (√2/12) / (9√2/4)

y = √2/12 × 4/9√2

y = 4/108

y = 1/27

Answer 2

Partimos da expressão dada:

    $\mathsf{y=\dfrac{sec\,x-cos\,x}{tg\,x+cotg\,x}}$

Basta lembrarmos que

    $\mathsf{sec\,x=\dfrac{1}{cos\,x},\quad tg\,x=\dfrac{sen\,x}{cos\,x}\quad e\quad cotg\,x=\dfrac{cos\,x}{sen\,x}.}$

Substituindo acima na expressão de y, temos

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad y=\dfrac{\frac{1}{cos\,x}-cos\,x}{\frac{sen\,x}{cos\,x}+\frac{cos\,x}{sen\,x}}}$

Para simplificar o lado direito, vamos multiplicar o numerador e o denominador por sen x · cos x ≠ 0:

    $\mathsf{\Longrightarrow\quad y=\dfrac{(\frac{1}{cos\,x}-cos\,x)\cdot (sen\,x\cdot cos\,x)}{(\frac{sen\,x}{cos\,x}+\frac{cos\,x}{sen\,x})\cdot (sen\,x\cdot cos\,x)}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad y=\dfrac{\frac{1}{cos\,x}\cdot (sen\,x\cdot cos\,x)-cos\,x\cdot (sen\,x\cdot cos\,x)}{\frac{sen\,x}{cos\,x}\cdot (sen\,x\cdot cos\,x)+\frac{cos\,x}{sen\,x}\cdot (sen\,x\cdot cos\,x)}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad y=\dfrac{sen\,x-cos^2\,x\cdot sen\,x}{sen^2\,x+cos^2\,x}}$

Substitua no denominador sen² x + cos² x = 1:

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad y=\dfrac{sen\,x-cos^2\,x\cdot sen\,x}{1}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad y=sen\,x-cos^2\,x\cdot sen\,x}$

Coloque sen x em evidência:

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad y=sen\,x\cdot (1-cos^2\,x)}$

Substitua 1 - cos² x = sen² x:

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad y=sen\,x\cdot (sen^2\,x)}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad y=sen^3\,x}$

Como sabemos o valor de sen x = 1/3, basta substituir acima, e obtemos

    $\mathsf{\Longrightarrow\quad y=\Big(\dfrac{1}{3}\Big)^3}\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad y=\dfrac{1}{27}\quad\longleftarrow\quad resposta.}$

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Bons estudos! :-)