Question

provar que nao existe triangulo cujos os lados estejam em p.g. de razao 2

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Para resolver esse problema vamos supor que o contrário, ou seja, vamos tentar provar que existe triangulo cujos os lados estejam em P.G. de razão 2 e nisso vamos chegar em um absurdo, uma mentira matemática - como 1 = 2, -1 > 0, ou um inteiro maior que zero e menor que um - provando então que não existe um triângulo cujos lados estejam em P.G. de razão 2 (chamamos essa demonstração de redução ao absurdo).

Vamos supor por absurdo que existe um triângulo ΔABC que tem lados x, 2x e 4x (perceba que eles estão em P.G. de razão 2; e que x tem que ser maior que 0, pois é um lado) para provar que ele existe ele tem que cumprir a CET (Condição de existência de um triângulo), que é um conjunto de 3 desigualdade onde dado um triângulo de lados a, b e c tem que cumprir para existir, são:

$|c - b| < a < c + b$

$|c - a| < b < c + a$

$|a - b| < c < a + b$

Mas como só queremos que pelo menos uma de errado vou fazer somente com a primeira que já entrega o que é desejado. Colocarei os valores de a = x, b = 2x, c = 4x:

$|c - b| < a < c + b$

$|4x - 2x| < x < 2x + 4x$

$|2x| < x < 6x$

$2x < x < 6x$  *

* Não esqueça que o módulo de um número positivo é ele mesmo.

Perceba que temos duas inequações:

1. $2x < x$
2. $x < 6x$

Passando "o que tem x de um lado, e o que não tem para o outro" fica:

1. $x < 0$
2. $-5x < 0$

Multiplicando por menos um na segunda:

1. $x < 0$
2. $5x > 0$

E dividindo por 5 na segunda

1. $x < 0$
2. $x > 0$

Com isso chegamos ao queríamos, só com essa duas equações chega-se uma contradição pois temos um número que é maior e menor que zero ao mesmo tempo. Logo se conclui que é um absurdo existir um triângulo cujos os lados estejam em uma P.G. de razão 2.

N.A.: É possível resolver esse problema só usando as inequações para provar que esse triângulo não existe. Contudo minha intenção foi mostrar para você um método fundamental para matemática, que vai ajudar com demonstrações de outros problemas no futuro.