Question

O polinômio P(x) = a · xb + b · xc + c · xa é tal que os números a, b e c são naturais consecutivos nessa ordem. Sabendo-se que o resto da divisão de P(x) por (x – 1) é igual a 9, podemos afirmar que o resto da divisão de P(x) por (x + 1) é igual a:

Answer 1

O resto da divisao de P(x) por (x+1) será R=2a+9

Por se tratar de uma divisao de polinomnios, o polinomio P(x) é na verdade

P(x)=ax²+bx+c

Vamos seguir agora com a divisao de P(x) elo polinomio g(x)=x-1

$\begin{matrix}</p><p>ax^2 &+bx  &+c  &||  &x&-1 \\ </p><p>\end{matrix}$

Primeiro multiplicamos o divisor por $ax$ e subtraiamos do dividendo

$\begin{matrix}</p><p>ax^2 &+bx &+c &|| &x&-1 \\ </p><p>-ax^2 &+ax & & -->&ax\\</p><p>-&-&-&-&-\\</p><p>0&(b+a)x&+c</p><p>\end{matrix}$

Em seguida, multiplicamos o divisor por $(b+a)$ e subtraiamos do dividendo resultante

$\begin{matrix}</p><p>ax^2 &+bx &+c &|| &x&-1 \\ </p><p>-ax^2 &+ax & & -->&ax+(b+a)\\</p><p>-&-&-&-&-\\</p><p>0&(b+a)x&+c\\</p><p>0&-(b+a)x&-(b+a)\\</p><p>-&-&-&-&-\\</p><p>0&0&c-(a+b)</p><p>\end{matrix}$

Desta forma encontramos o resto igual a $c-(a+b)$

O problema ainda nos diz que este resto é igual a 9. portanto $c-(a+b)=9$

Vamos agora efetuar a divisão de P(x) por x+1:

$\begin{matrix}</p><p>ax^2 &+bx &+c &|| &x&+1 \\ </p><p>-ax^2 &-ax & & -->&ax\\</p><p>-&-&-&-&-\\</p><p>0&(b-a)x&+c</p><p>\end{matrix}$

Em seguida, multiplicamos o divisor por $(b-a)$ e subtraiamos do dividendo resultante

$\begin{matrix}</p><p>ax^2 &+bx &+c &|| &x&-1 \\ </p><p>-ax^2 &-ax & & -->&ax+(b-a)\\</p><p>-&-&-&-&-\\</p><p>0&(b-a)x&+c\\</p><p>0&-(b-a)x&-(b-a)\\</p><p>-&-&-&-&-\\</p><p>0&0&c-(a-b)</p><p>\end{matrix}$

Desta forma encontramos o resto igual a $R=c-(b-a)$

e como o problema nos disse que $c-(a+b)=9$, podemos afirmar que $c=(a+b)+9$

e por isso

$R=c-(b-a)\implies R=(a+b)+9+(a-b)$

$R=2a+9$