Question

sen x + cos x= -raiz de 2/2
Alguém me ajuda?

Answer 1

Resposta:

S = {x ∈ IR/ x = 11π/12 + 2kπ ou x = 19π/12 + 2kπ, k ∈ Z}

Explicação passo-a-passo:

cosx = sen(π/2 - x)

senp + senq = 2sen(p+q)/2 cos(p-q)/2

senx + cosx = -√2/2

senx + sen(π/2 - x) = - √2/2

2sen(x + π/2 -x) cos(x - π/2 + x) = -√2/2

2senπ/2 cos(2x - π/2)/2 = -√2/2

2.√2/2 .cos(x - π/4) = -√2/2

√2. cos(x - π/4) -√2/2

cos(x - π/4) = -1/2

x - π/4 = 2π/3 + 2kπ

x = 2π/3 + π/4

x = (8π + 3π)/12 + 2kπ

x = 11π/12 + 2kπ

ou

x - π/4 = 4π/3 + 2kπ

x = 4π/3 + π/4 + 2kπ

x = (16π + 3π/4)/12 + 2kπ

x = 19π/12 + 2kπ

S = {x ∈ IR/ x = 11π/12 + 2kπ ou x = 19π/12 + 2kπ, k ∈ Z}

OBS. Se quiser tire a prova. x = 165° ou x = 285° (como arcos principais)

sen165° = 0,2588

cos165° = - 0,9659

0,2588 - 0,9659 = -0,7071

-√2/2 = -0,7071

sen285° = -0,9659

cos285= 0,2588  apenas resultados invertidos.

Answer 2

Resposta: As infinitas soluções reais da equação trigonométrica são descritas por meio de seu respectivo conjunto solução $S$, situado no final desta resolução.

Explicação passo-a-passo:

Antes de tudo, lembre-se que para quaisquer $\alpha$ e $\beta$ números reais $\left(\alpha,\ \beta\ \in\ \mathbb{R}\right)$ $cos\left(\alpha\right)=cos\left(\beta\right)$ se, e somente se, $\alpha =\beta +2k\pi$ ou $\alpha =-\beta +2k\pi$ $\left(cos(\alpha)=cos(\beta )\ \Leftrightarrow\ \alpha =\beta +2k\pi\ \lor\ \alpha =-\beta +2k\pi,\ k\ \in\ \mathbb{Z}\right)$. Também deve-se lembrar de uma das Fórmulas de Adição de Arcos, que garante a igualdade $cos(\alpha-\beta)=cos(\alpha) \cdot cos(\beta)+sen(\alpha) \cdot sen(\beta)$, $\forall\ \alpha,\ \beta\ \in\ \mathbb{R}$. Retornando ao exercício, temos que a Equação Trigonométrica proposta é dada por $sen(x)+cos(x)=-\cfrac{\sqrt{2}}{2}$. Posto isso, vamos à sua resolução:

$sen(x)+cos(x)=-\cfrac{\sqrt{2}}{2}\ \ \ \Leftrightarrow$

$\cfrac{sen(x)+cos(x)}{\sqrt{2}}=\cfrac{\left(-\cfrac{\sqrt{2}}{2}\right)}{\sqrt{2}}\ \ \ \Leftrightarrow$

$\cfrac{sen(x)}{\sqrt{2}}+\cfrac{cos(x)}{\sqrt{2}}=-\cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{1}{\sqrt{2}}\ \ \ \Leftrightarrow$

$\cfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot sen(x)+\cfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot cos(x)=-\cfrac{1}{2}\ \ \ \Leftrightarrow$

$\cfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \cdot sen(x)+\cfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \cdot cos(x)=-\cfrac{1}{2}\ \ \ \Leftrightarrow$

$\cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot sen(x)+\cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot cos(x)=-\cfrac{1}{2}\ \ \ \Leftrightarrow$

$sen\left(\cfrac{\pi}{4}\right) \cdot sen(x)+cos\left(\cfrac{\pi}{4}\right) \cdot cos(x)=-\cfrac{1}{2}\ \ \ \Leftrightarrow$

$cos(x) \cdot cos\left(\cfrac{\pi}{4}\right)+sen(x) \cdot sen\left(\cfrac{\pi}{4}\right)=cos\left(\cfrac{2\pi}{3}\right)\ \ \ \Leftrightarrow$

$cos\left(x-\cfrac{\pi}{4}\right)=cos\left(\cfrac{2\pi}{3}\right)\ \ \ \Leftrightarrow$

$x-\cfrac{\pi}{4}=\cfrac{2\pi}{3}+2k\pi,\ k\ \in\ \mathbb{Z}\ \ \ \lor\ \ \ x-\cfrac{\pi}{4}=-\cfrac{2\pi}{3}+2k\pi,\ k\ \in\ \mathbb{Z}\ \ \ \Leftrightarrow$

$x=\cfrac{11\pi}{12}+2k\pi,\ k\ \in\ \mathbb{Z}\ \ \ \lor\ \ \ x=-\cfrac{5\pi}{12}+2k\pi,\ k\ \in\ \mathbb{Z}$

Por fim, seu conjunto solução $S$ será:

$S=\left\{x\ \in\ \mathbb{R}:\ x=\cfrac{11\pi}{12}+2k\pi\ \ \lor\ \ x=-\cfrac{5\pi}{12}+2k\pi;\ k\ \in\ \mathbb{Z}\right\}$

Um grande abraço!